エネルギー

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/16 10:32 UTC 版)

電磁気学

電磁気学において、電磁場のエネルギーは、現象論的なマクスウェルの方程式から

U(t)=\int _{V}{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)+{\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}

と与えられる^[17]。ここで $E$ は電場、 $D$ は電束密度、 $H$ は磁場、 $B$ は磁束密度である。また、 $\cdot$ はベクトルの内積、 $V$ は空間全体およびその体積を表す。特に、真空中では電束密度 $D$ および磁場 $H$ はそれぞれ電場 $E$ と磁束密度 $B$ で置き換えられ、国際単位系を用いれば、真空中の誘電率 $ε 0$ および真空中の透磁率 $μ 0$ を用いて、

U(t)=\int _{V}{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}

と表すことができる。また、被積分関数である、電場と電束密度の内積 $E \cdot D$ 、および磁場と磁束密度の内積 $H \cdot B$ の和は^{[注 6]}、電磁場のエネルギー密度を与える^[18]。

u({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)+{\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)\right).

真空中のエネルギー密度は、

u({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)\right).

である。すなわち、電磁場のエネルギー密度は電磁場の大きさの二乗に比例する。

ある空間における電磁場のエネルギーについて、その時間的変化は電場が電荷に対してなす力学的な仕事と、電磁波として運ばれるものに分けられる^[19]。前者の電荷に対する電磁場がなす仕事やそれによって生じる熱はジュール熱と呼ばれる^[20]。

-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}u({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}=\int _{V}{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}+\int _{A}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\right)\cdot {\boldsymbol {n}}({\boldsymbol {r}}_{A})\mathrm {d} A.

ここで $j$ は電流密度、 $A$ は領域 $V$ の表面およびその面積を表す。また、 $r A$ は表面 $A$ 上の点を、 $n$ は表面に垂直で領域の外を向いた単位ベクトルを表している。右辺の第 1 項がジュール熱、つまり電磁場と電荷の相互作用によるエネルギーの移動を表し、第 2 項が電磁場の変形によって外部へ流出するエネルギーの流量を表している。第 2 項の被積分関数はポインティング・ベクトルとして次のように定義される^[21]。

{\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t).

脚注

注釈

^ 英: the vis viva dispute
^ 英: Helmholtz free energy
^ 英: Gibbs free energy
^ 英: exergy
^ 系全体のハミルトニアンの固有状態を特にエネルギー固有状態と呼び、固有値をエネルギー固有値と呼ぶ。エネルギー固有状態とは、エネルギーがある 1 つの値に定まった状態を指し、エネルギー固有値はそのときの系のエネルギーに等しい。
^ 正確にはその $1 / 2$ 。

出典

^ ^a ^b 小学館『デジタル大辞泉』。
^ ^a ^b 岩波書店『広辞苑』、第5版、301頁、「エネルギー」。
^ 朝永 1981, p. 67.
^ ^a ^b ^c ^d 培風館『物理学辞典』(1998)、pp.191-193。
^ 国際単位系（SI）第9版（2019）日本語版産業技術総合研究所、計量標準総合センター、p.106 表4、2020年4月
^ “計量単位令（平成四年政令第三百五十七号）別表第6（第5条関係）第13号”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2019年12月17日閲覧。
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^ 計量単位令別表第7、項番14
^ ^a ^b ^c 『世界大百科事典』第3巻、pp.613-615、エネルギー。
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^ 須藤, 2008 & 12.3 演算子と固有値・固有ベクトル, pp. 177–180.
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^ 砂川 1987, pp. 227–229, 第 5 章マクスウェルの方程式 §2 電磁場のエネルギーと運動量.
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^ 砂川 1987, pp. 227–229, 284–286, 第 5 章マクスウェルの方程式 §2 電磁場のエネルギーと運動量; 第 7 章電磁波とその放射 §1 自由空間における電磁波.
^ 砂川 1987, pp. 111–112, 229–233, 第 2 章定常電流 §2 オームの法則; 第 5 章マクスウェルの方程式 §2 電磁場のエネルギーと運動量.
^ 砂川 1987, pp. 229–233, 284–286, 第 5 章マクスウェルの方程式 §2 電磁場のエネルギーと運動量; 第 7 章電磁波とその放射 §1 自由空間における電磁波.
^ 「科学は歴史をどう変えてきたか　その力・証拠・情熱」p145-148　マイケル・モーズリー＆ジョン・リンチ著　久芳清彦訳　東京書籍　2011年8月22日第1刷
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^ https://www.fepc.or.jp/enterprise/jigyou/world/index.html　「世界のエネルギー消費と資源」電気事業連合会　2019年11月26日閲覧
^ ^a ^b 「エネルギー革命」『世界大百科事典』 3巻、平凡社、615頁。
^ 八坂保能編著『電気エネルギー工学新装版発電から送配電まで』森北出版、2017年、5-6頁。
^ 八坂保能編著『電気エネルギー工学新装版発電から送配電まで』森北出版、2017年、6頁。
^ [1]
^ International Energy Agency (IEA). “Unit Converter” (英語). 2012年4月29日閲覧。

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