零写像 零準同型

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零写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)

零準同型

定義

X を集合、Y を単位的マグマ（つまり、結合 ∗ とそれに関する単位元 0 を持つ集合）とすれば、写像 φ: X → Y が零写像であるとは、

$$\varphi (x)=0\quad (\forall x\in X)$$

を満たすときに言う。そのような代数系 (Y, ∗) としてモノイド、群、環、加群やうえで述べたベクトル空間などが重要な例として挙げることができる。

例

• ブール環またはブール代数に値をとる、矛盾に対応するブール函数。
• q-元体上の多項式環における多項式函数 x ↦ x^q − x.
• 環に値をとる冪零写像の k-回合成冪、ただし k が像の冪零度以上であるとき。
• 任意の集合 A が零集合 μ(A) = 0 となるような測度 μ.

性質

• X がマグマで Y が単位的マグマのとき、零写像はマグマ準同型である。
• X, Y が二つの単位的環のとき、零写像は環準同型である。X が単純環（例えば可換体または斜体）ならば、任意の環準同型は単射であるかさもなくば零写像である。
• X, Y が二つの加群のとき、零写像は加群準同型である。
• X, Y が二つの多元環のとき、零写像は多元環準同型である。