組成列 組成列の概要

ウィキペディア

組成列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 14:45 UTC 版)

概要

群の組成列の定義は次のとおりである。群 G が相異なる部分群の有限列

$G=G_{n}\supsetneq \cdots \supsetneq G_{0}=1$

を持ち、各添字 1 ≤ i ≤ n について G_i−1 は G_i の正規部分群であり (G_i ⊵ G_i−1)、剰余群 G_i/G_i−1 が単純群であるとき、この部分群の有限列 (G_i)_0≤i≤n を組成列と呼び、剰余群の列 (G_i−1/G_i)_{1 ≤i≤n} を剰余因子群または組成因子と呼ぶ。また、部分群の個数 n を組成列の長さと呼ぶ。

上の定義においては、群 G の各部分群 G_i は、G の正規部分群であること (G ⊵ G_i) は要求されていない。この要求を満たす場合、(G_i)_0≤i≤n を主組成列と呼び、G の直積分解を考える上では、こちらの方がより本質的である (クルル・レマク・シュミットの定理参照)。

群 G が有限個の単純群の直積に分解可能な場合、G は完全可約群または半単純群であるという。上の定義から明らかなように、剰余因子群は単純群であり、G が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される。

例えば、G を 7元体 Z₇ の乗法群 Z₇^× = {1,2,3,4,5,6} と置けば、G は位数6の巡回群であり、2つの自明でない正規部分群 N₁ = {1,2,4}、N₂ = {1,6} を持つ。N₁ 、N₂には包含関係は無いので、 G ⊵ N₁ ⊵ {1} および G ⊵ N₂ ⊵ {1} が主組成列となる。G ⊵ N₁ ⊵ {1} の剰余因子群は G/N₁ = { N₁, 6N₁ } と N₁/{1} = N₁ であり、前者は N₂ と同型である。G ⊵ N₂ ⊵ {1} の剰余因子群は G/N₂ = { N₂, 2N₂, 4N₂ } と N₂/{1} = N₂ であり、前者は N₁ と同型である。N₁ と N₂ の直積 N₁ × N₂ は位数6の巡回群であり、G と同型である。従って G は剰余因子群の直積に分解されるので、完全可約群ということになる。

しかし、群 G が主組成列を持つ場合でも、必ずしも完全可約群であるとは限らない。これは単純群は直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではないという理由による。

例えば、G を 5元体 Z₅ の乗法群 Z₅^× = {1,2,3,4} と置けば、G は位数4の巡回群であり、2と3は G の生成元であるので、N = {1,4} が唯一の自明でない正規部分群である。 主組成列は G ⊵ N ⊵ {1} であり、剰余因子群は G/N = {N, 4N} と N/{1} = N であるが、これらは共に位数2の巡回群であり同型である。この2つの群の直積はやはり位数2の巡回群であり位数4の巡回群である G には一致しない。つまりこの場合の G は完全可約群ではないことになる。

一般に、G を位数が素数のべき乗 p^r (p は素数、r は2以上の自然数) である巡回群とすれば、G の自明でない部分群 (G 自身および単位群 1 以外の部分群) の位数は p^s (s は 1 ≤ s < r である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数が p^r の元 (G の生成元) を含むような群にはならない。したがって、G はこれ以上直積分解できないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。

群 G が直積分解可能であるか否かにかかわらず、組成列が存在すれば、組成因子は順序と同型の違いを除いて一意的である。つまり、

$G=H_{s}\triangleright \cdots \triangleright H_{0}=1$

$G=K_{t}\triangleright \cdots \triangleright K_{0}=1$

をそれぞれ G の組成列とすれば、s = t であり、剰余群 (H_i−1/H_i)_{1 ≤i≤s} と (K_j−1/K_j)_{1 ≤j≤t} は、適当な s 次の置換 σ によって H_i/H_i−1 ≅ K_σ(i)/K_σ(i)−1 とすることができる (ジョルダン・ヘルダーの定理)。

群に対して

有限性と極大性

群 G の部分群の列

$G=G_{n}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1$

が各添字 1 ≤ i ≤ n について G_i ⊵ G_i−1 である場合、(G_i)_0≤i≤n を正規鎖 (subnormal series) と呼び、部分群の個数 n を正規鎖の長さと呼ぶ。ただし、組成列と異なり、G_i と G_i−1 の間に G_i の正規部分群が存在する場合も許容され、長さが無限大となる場合も有り得るものとする。

組成列は長さが有限で、その長さが極大である正規鎖であると言える。群 G に組成列が存在するならば、G の任意の正規鎖は感覚的に言えば列に部分群を極大になるまで挿入することによって、組成列に細分できる。つまり、組成列にはもはや「挿入」できる部分群がないということである。

任意の有限群は組成列をもつが、すべての無限群が組成列をもつわけではない。組成列を持つことは一種の有限条件である。

例えば、整数環 Z を加法についての群と見なした場合、組成列を持たない。

ジョルダン・ヘルダーの定理

群はいくつもの組成列をもつかもしれない。しかしながら、ジョルダン・ヘルダーの定理（カミーユ・ジョルダンとオットー・ヘルダーにちなんで名づけられた）は、与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。この定理はシュライヤーの細分定理を使って証明できる。ジョルダン・ヘルダーの定理はまた超限（transfinite）増大組成列についても正しいが、超限減少組成列に対しては正しくない(Birkhoff 1934)。

例

位数 n の巡回群に対して、組成列は n の順序を考慮に入れた素因数分解と関係があり、実は、算術の基本定理の証明をもたらす。

例えば、巡回群 C₁₂ は異なる組成列として

$C_{12}\triangleright C_{6}\triangleright C_{2}\triangleright 1$;

$C_{12}\triangleright C_{4}\triangleright C_{2}\triangleright 1$;

$C_{12}\triangleright C_{6}\triangleright C_{3}\triangleright 1$

をもつ。

各列から得られる組成因子の列はそれぞれ

$C_{2},C_{3},C_{2}$;

$C_{3},C_{2},C_{2}$;

$C_{2},C_{2},C_{3}$

である。