ベルヌーイ多項式 フーリエ級数

ウィキペディア

ベルヌーイ多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)

フーリエ級数

ベルヌーイ多項式のフーリエ級数は、

$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}$

なる式で与えられるディリクレ級数でもある（単純に n が大きいとき、適当にスケール変換された三角函数に近づくことに注意せよ）。

これはフルヴィッツのゼータ函数に対する同様の表示の特別の場合

$B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}$

である。この展開は n ≥ 2 のとき 0 ≤ x ≤ 1 で、n = 1 のとき 0 < x < 1 で有効である。

オイラー多項式のフーリエ級数も求められる。フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数を以下のように定義すると。

$C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}},$

$S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}.$

ただし、$\nu >1$とする。また、

$C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)$

$S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x)$

である。C_ν および S_ν はそれぞれ（x = 1/2 に関して）奇関数および偶関数、即ち

$C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x),$

$S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x)$

を満たすことに注意せよ。これらはルジャンドルのカイ関数 $\chi _{\nu }$を用いて、

$C_{\nu }(x)=\operatorname {\Re {\mathit {e}}} \chi _{\nu }(e^{ix}),$

$S_{\nu }(x)=\operatorname {\Im {\mathit {m}}} \chi _{\nu }(e^{ix})$

ともかける。