ベルヌーイ多項式 周期ベルヌーイ多項式

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ベルヌーイ多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)

周期ベルヌーイ多項式

周期ベルヌーイ多項式 P_n(x) は、x の小数部分におけるベルヌーイ多項式の値に等しい。これらの関数は、オイラーの和公式の積分に関連した和の剰余項を提供するために用いられる。最初の多項式はのこぎり波関数である。

厳密にいえば、これらの関数は多項式ではまったくないので、より適切に周期ベルヌーイ関数と呼ばれるべきである。

以下の性質は興味深い。任意の x に対して:

• 任意の k ≠ 1 に対して、P_k(x) は連続である。
• P_k'(x) は存在して、k = 0, k ≥ 3 のとき連続である。
• k ≥ 3 に対して P_k'(x) = kP_k−1(x) が成り立つ。

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (See Chapter 23)

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929, Zbl 0335.10001  (See chapter 12.11)
• Dilcher, K. (2010), “Bernoulli and Euler Polynomials”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/24 

• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). “New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments”. Proceedings of the American Mathematical Society 123: 1527–1535. doi:10.2307/2161144. 

• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0.  (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)

• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9 

関連項目

• ベルヌーイ数
• スターリング多項式