ベルヌーイ多項式 微分と差分

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ベルヌーイ多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)

微分と差分

陰計算により、ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式に関する多くの関係式が得られる。

$\Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},$

$\Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).$

(Δは前進差分作用素)。

これらの多項式列はアペル列である。即ち

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).$

を満たす。

平行移動

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k},$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}.$

これらの等式が成り立つこともまた、これらの多項式列がアペル列であるという主張と同値である。（エルミート多項式列も同様の例として挙げられる）。

対称性

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)\quad (n\geq 0),$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x),$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1},$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n},$

$B_{n}(1/2)=(1/2^{n-1}-1)B_{n}\quad (n\geq 0)$: 後述の乗法公式から従う。

孫智偉とハオ・パンは以下の驚くべき対称関係を確立した。今、 r + s + t = nかつ x + y + z = 1とすると、

$r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,$

が成り立つ。ただし、

$[s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y)$

である。