ベルヌーイ多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
最大値と最小値
n が大きくなるにつれ、Bn(x) の x = 0 と x = 1 の間での変動量は大きくなる。例えば
は x = 0 における値が(x = 1 における値も)−3617/510 ≈ −7.09 である一方、x = 1/2 における値は 118518239/3342336 ≈ +7.09 である。 デリック・ヘンリー・レーマー[1]は Bn(x) の 0 と 1 の間での最大値が n が法 4 に関して 2 でない限り
を満たすことを示した。n が法 4 に関して 2 であるときは、
(ここで はリーマンゼータ関数)となる。一方で、最小値は n が法 4 に関して 0 でない限り
を満たす。n が法 4 に関して 0 であるときは、
である。これらの評価は実際の最大値・最小値に極めて近く、またレーマーはより精緻な評価も与えている。
- ^ D.H. Lehmer, "On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials", American Mathematical Monthly, volume 47, pages 533–538 (1940)
- ^ Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). “Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials”. Acta Arithmetica 125: 21–39. arXiv:math/0409035. doi:10.4064/aa125-1-3.
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