ベルヌーイ多項式 最大値と最小値

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ベルヌーイ多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)

最大値と最小値

n が大きくなるにつれ、B_n(x) の x = 0 と x = 1 の間での変動量は大きくなる。例えば

$B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}$

は x = 0 における値が（x = 1 における値も）−3617/510 ≈ −7.09 である一方、x = 1/2 における値は 118518239/3342336 ≈ +7.09 である。 デリック・ヘンリー・レーマーは B_n(x) の 0 と 1 の間での最大値が n が法 4 に関して 2 でない限り

$M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}$

を満たすことを示した。n が法 4 に関して 2 であるときは、

$M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}$

（ここで $\zeta (x)$ はリーマンゼータ関数）となる。一方で、最小値は n が法 4 に関して 0 でない限り

$m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}$

を満たす。n が法 4 に関して 0 であるときは、

$m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}$

である。これらの評価は実際の最大値・最小値に極めて近く、またレーマーはより精緻な評価も与えている。