下降階乗との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
「ベルヌーイ多項式」の記事における「下降階乗との関係」の解説
ベルヌーイ多項式は下降階乗冪 x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} を用いて B n + 1 ( x ) = B n + 1 + ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 { n k } x n + 1 _ {\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {n+1}}} と展開できる。ここで、 B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)} および { n k } = S ( n , k ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)} は第二種スターリング数をあらわす。上記とは反対に、ベルヌーイ多項式を用いて、下降階乗冪を x n + 1 _ = ∑ k = 0 n n + 1 k + 1 [ n k ] ( B k + 1 ( x ) − B k + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {n+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)} と表すこともできる。ここで、 [ n k ] = s ( n , k ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}=s(n,k)} は第一種スターリング数を表す。
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