選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/26 01:29 UTC 版)
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。
定義
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 
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選択公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/02 13:16 UTC 版)
「ケーニヒの定理 (集合論)」の記事における「選択公理」の解説
選択公理は"任意の空でない集合の直積は空でない"という命題とも言える。I の要素i に対しBiを空でない集合、Ai = {}とする。ケーニヒの定理から、: ∀ i ∈ I ( { } < B i ) {\displaystyle \forall i\in I(\{\}<B_{i})} ならば { } < ∏ i ∈ I B i . {\displaystyle \{\}<\prod _{i\in I}B_{i}.} となる。すなわち、与えられた空でない集合Biの直積は空集合の和より大きい濃度を持ち、空でないから、これは選択公理の主張に他ならない。つまり、ケーニヒの定理から選択公理が導かれる。ケーニヒの定理からの帰結について議論するときは暗黙の内に、選択公理を仮定することになる。
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