Unit dyadic
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 10:45 UTC 版)
単位二項積 (Unit dyadic) すなわち任意のベクトル a に対して以下を満たす二項積 I が存在する: I ⋅ a = a ⋅ I = a . {\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} .} 三次元の場合に、基底ベクトル a, b, c およびその逆ベクトル ^a, ^b, ^c を用いれば単位二項積は I = a a ^ + b b ^ + c c ^ {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}} と書ける。標準基底（基本ベクトル）で書けば I = i i + j j + k k {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} } である。対応する行列 I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} は単位行列になる。 これは（併置記法が何を意味するのかという論理的な文脈で）より注意深く基礎付けることができる。有限次元ベクトル空間 V と V 上の二項積テンソルは、V とその双対空間に関するテンソル積の基本テンソルである。 V とその双対空間 V∗ とのテンソル積が V から V への線型写像の空間に線型同型であることに基づけば、二項積 vf は w ∈ V を f(w)v へ写す線型写像と看做すことができる。V が n-次元ユークリッド空間のときは、内積を用いて V はその双対空間と同一視できるから、二項積はユークリッド空間の二つのベクトルの基本テンソル積になる。 この意味で、基本二項積 ij は a1i + a2j + a3k を a2i に写す三次元空間からそれ自身への写像であり、同様に jj は同じ和を a2j に写す。そうすると、ii + jj + kk は恒等写像（単位元）であるということにはっきりと意味ができて、これは a1i + a2j + a3k をそれ自身に写す。 単位二項積の性質 ( a × I ) ⋅ ( b × I ) = a b − ( a ⋅ b ) I , {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {I} )\cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {I} )=\mathbf {ab} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {I} ,} I ⋅ × a b = b × a , {\displaystyle \mathbf {I} \mathop {_{\textstyle \cdot }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {ab} =\mathbf {b} \times \mathbf {a} ,} I × × A = ( A × × I ) I − A ⊤ , {\displaystyle \mathbf {I} \mathop {_{\textstyle \times }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {A} =(\mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} \limits ^{\textstyle \times }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\top },} I : a b = ( I ⋅ a ) ⋅ b = a ⋅ b = tr ( a b ) . {\displaystyle \mathbf {I} :\mathbf {ab} =(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\operatorname {tr} (\mathbf {ab} ).} ここで、 "tr" は対角和（蹟、trace）を表す。
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