N進法による差異

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N進法による差異

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 08:14 UTC 版)

「循環小数」の記事における「N進法による差異」の解説

必ず循環小数になる例 N進法表示において、1/N − 1 の小数は必ず 0.1111… になる。九進法の場合 1/8 が 0.1111… になり、十進法の場合 1/9 が 0.1111… になる。 乗算表の最後に来る (10-1)2 の逆数は、整数第二位に来る数が抜けて、(10-1)桁の循環小数になる。例えば、六進法の場合「五五・四六一」なので 52 の逆数は 1/41 = 0.01235… となり、4が抜けて循環節は5桁になる。九進法の場合「八八・七九一」なので 82 の逆数は 1/71 = 0.01234568… となり、7が抜けて循環節は8桁になる。 複数桁で一の位が1の数を逆数にすると、循環小数になる。例えば、十二進法の場合 1/31 = 0.03A85232B… になり、十六進法の場合 1/21 = 0.07C1F… になる。 循環節が短くなる例 循環節の短さは、10 −1 ならびに 10n − 1 を素因数分解した時にどんな数が来るかによって決まる。 2−n では九進法 (10 − 1 = 8 = 23) が、3−n では十進法（10 − 1 = 9 = 32）が、5−n では六進法 (10 − 1 = 5) が、それぞれ循環節が最も短くなる。 十八進法では、100 − 1 = HH = H×11、1000-1 = HHH = 73×H、10000 − 1 = HHHH = 52×D×H×11 となる。従って、5 は2乗までが4桁、7 は3乗までが3桁、D も4桁となり、12 (= 4×5) までの素数のうち、B が十桁になる以外は全て循環節が4桁以下になる。