B環とは? わかりやすく解説

B*-環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/04/19 12:33 UTC 版)

函数解析学における B*-環(ビー・スターかん、: B*-algebra; B*-代数)は、両立するバナッハ環*-環の構造を持ち、B*-条件と呼ばれる恒等式を満足するものである。言葉を変えれば、完備ノルム双線型かつ連続な乗法を備える複素ベクトル空間であって、適当な条件を満足する対合を備えた代数系である。

定義

バナッハ *-環

バナッハ *-環 A複素数C 上のバナッハ環であって、対合と呼ばれる写像 ∗: AA で以下の条件を満足するものを備える代数系である。x, yA, λ ∈ C は任意、上付きバー 複素共軛を表すものとして

  1. (x + y) = x + y.
  2. x) = λx.
  3. (xy) = yx.
  4. (x) = x.

B*-環

B*-条件
(B*) xx‖ = ‖x2 (xA)

を満足するバナッハ *-環 A を表すのに1946年、C. E. Rickart は B*-環を導入した。

注意: B* と C*

C*-条件
(C*) xx‖ = ‖x‖‖x (xA)

を満足するバナッハ *-環 AC*-環と呼ばれる[* 1] 。条件 (B*) から自動的に、対合 等距、すなわち x‖ = ‖x であることが従う。従ってこのとき (C*) が満足されるから、故に B*-環は C*-環である。実は (C*) から (B*) が導かれる(これは自明なことではない、が条件 x‖ = ‖x を用いることなくそれを証明することができる[4])。そのような理由から、現在の用語法では「B*-環」と呼ぶことは稀で、「C*-環」と呼ぶようになっている。

注釈

  1. ^ 「C*-環」(C*-algebra) の語は1947年にアーヴィング・シーガル英語版が、適当なヒルベルト空間 H 上の有界作用素全体の成す線型環 B(H) のノルム閉な部分線型環を記述するために導入した。"C" は「閉」(closed) を表すものである[1][2]。シーガルは自身の論文において、C*-環を「ヒルベルト空間上の有界作用素の成す一様閉な自己随伴線型環」として定義している[3]

出典

参考文献

  • Doran, Robert S.; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8 .
  • Segal, Irving (1947), “Irreducible representations of operator algebras”, Bulletin of the American Mathematical Society 53 (2): 73–88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5 .

関連項目


B環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/08 21:42 UTC 版)

土星の環」の記事における「B環」の解説

B環は、半径明るさ質量とも最大の環である。厚さ5 mから15 m、質量は約2.8 × 1019 kg光学的深さは0.4から2.5推定されている。B環の密度明るさ大きな多様性があるが、ほぼ全て説明がついていない。B環の中には間隙存在しない

※この「B環」の解説は、「土星の環」の解説の一部です。
「B環」を含む「土星の環」の記事については、「土星の環」の概要を参照ください。

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