非相対論的プロパゲーター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/18 07:38 UTC 版)
「プロパゲーター」の記事における「非相対論的プロパゲーター」の解説
非相対論的な量子力学では、プロパゲーターはある時刻での空間位置から後の時刻での位置への移動する基本粒子の確率振幅を与える。プロパゲーターはシュレーディンガー方程式のグリーン函数（基本解）である。このことは、系がハミルトニアン H を持っている場合は、適切なプロパゲーターが函数 K(x,t;x',t') であり、次の方程式を満たす。 ( H x − i ℏ ∂ ∂ t ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = − i ℏ δ ( x − x ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left(H_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')} ここに Hx は、x 座標の項で記述されたハミルトニアンであり、 δ(x) はディラックのデルタ函数である。 これは次のようにも表すことができる。 K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = ⟨ x | U ^ ( t , t ′ ) | x ′ ⟩ {\displaystyle K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle } ここに Û(t,t' ) は時刻 t での状態を時刻 t' の状態とする系のユニタリな時間発展作用素である。 非相対論的な量子力学では、プロパゲーターは与えられた初期状態と時間の区間の系の終了状態を求める。新しい状態は次の方程式で与えられる。 ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ′ , t ′ ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) d x ′ . {\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.} K ( x , t ; x ′ , t ′ ) {\displaystyle K(x,t;x',t')} が差異 x − x ′ {\displaystyle x-x'} にのみ依存しているならば、この式は初期状態とプロパゲーターの畳み込みになる。 量子力学のプロパゲーターはまた、経路積分の定式化を使うことにより見つけ出すこともできる。 K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = ∫ exp [ i ℏ ∫ t t ′ L ( q ˙ , q , t ) d t ] D [ q ( t ) ] {\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]} ここに経路積分の境界条件は、 q(t)=x, q(t')=x' を意味している。さらに L は系のラグランジアン(en:Lagrangian)を表している。この足し上げられた経路は時間によってのみ進む。 非相対論的量子力学では、プロパゲーターは初期状態と時間区間を与えられた系の状態を示している。新しい状態は、 ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ′ , t ′ ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) d x ′ {\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'} で表される。 K(x,t;x',t') が距離の差異 x−x' のみに依存するとすれば、この初期状態とプロパゲーターの畳み込みを表している。
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