集合算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 08:31 UTC 版)
集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち ( A ∩ B ) × ( C ∩ D ) = ( A × C ) ∩ ( B × D ) {\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)} が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない: ( A ∪ B ) × ( C ∪ D ) ≠ ( A × C ) ∪ ( B × D ) . {\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D).} 実は右辺は ( A × C ) ∪ ( B × D ) = [ ( A ∖ B ) × C ] ∪ [ ( A ∩ B ) × ( C ∪ D ) ] ∪ [ ( B ∖ A ) × D ] {\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]} と書くことができる。差に関しては等式 ( A × C ) ∖ ( B × D ) = [ A × ( C ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∖ B ) × C ] {\displaystyle (A\times C)\smallsetminus (B\times D)=[A\times (C\smallsetminus D)]\cup [(A\smallsetminus B)\times C]} が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる: A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),} A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),} A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),} ∁ ( A × B ) = ( ∁ A × ∁ B ) ∪ ( ∁ A × B ) ∪ ( A × ∁ B ) , {\displaystyle \complement (A\times B)=(\complement A\times \complement B)\cup (\complement A\times B)\cup (A\times \complement B),} ここで ∁A は A の補集合である。 一般に ( ∏ λ ∈ Λ A λ ) ∩ ( ∏ μ ∈ Λ B μ ) = ∏ λ ∈ Λ ( A λ ∩ B λ ) {\displaystyle (\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\prod _{\mu \in \Lambda }B_{\mu })=\prod _{\lambda \in \Lambda }(A_{\lambda }\cap B_{\lambda })} ( ⋃ λ ∈ Λ A λ ) × ( ⋃ μ ∈ M B μ ) = ⋃ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ × B μ ) {\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\times (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })} ( ⋂ λ ∈ Λ A λ ) × ( ⋂ μ ∈ M B μ ) = ⋂ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ × B μ ) {\displaystyle (\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\times (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })} ( ⋃ λ ∈ Λ A λ ) ∩ ( ⋃ μ ∈ M B μ ) = ⋃ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ ∩ B μ ) {\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cap B_{\mu })} ( ⋂ λ ∈ Λ A λ ) ∪ ( ⋂ μ ∈ M B μ ) = ⋂ ( λ , μ ) ∈ Λ × M ( A λ ∪ B μ ) {\displaystyle (\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cup (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cup B_{\mu })} などが成り立つ。 ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある: A ⊆ B ⟹ A × C ⊆ B × C , {\displaystyle A\subseteq B\implies A\times C\subseteq B\times C,} A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ⟹ [ A × B ⊆ C × D ⟺ A ⊆ C ∧ B ⊆ D ] . {\displaystyle A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset \implies [A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D].}
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