総乗 （そうじょう）とは、積 の定義される集合 における多項演算 の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義 結合律 を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a 1 , a 2 , …, an の総乗を
∏
k
=
1
n
a
k
=
a
1
×
a
2
×
⋯
×
a
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字 のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度 を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n } で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi )i ∈I
∏
E
=
∏
x
∈
E
x
=
∏
i
∈
I
x
i
=
∏
k
=
1
n
x
k
{\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M M 空積 も参照）
∏
∅
=
∏
x
∈
∅
x
=
1
M
{\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}
積が非結合的な場合 積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a 1 × a 2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
p
1
=
a
1
,
{\displaystyle p_{1}=a_{1},}
p
k
+
1
=
p
k
×
a
k
+
1
{\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}
このとき、
p
n
=
∏
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}
∏
k
=
1
n
a
k
=
(
⋯
(
(
a
1
×
a
2
)
×
a
3
)
×
⋯
×
a
n
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積 総和 と同様に、可算無限 列
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}
∏
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}
を定義することができ、無限積 とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性 を吟味しなければならない。
定義 実数 や複素数 からなる可算列
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}
∏
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}
収束する とは2条件
ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m )[1]
部分積 pn := x m +1xn (n > m ) がゼロでない値 Pm に n → ∞ の極限で収束 する
が成り立つことをいう[3]
∏
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}
∏
n
=
1
∞
x
n
=
x
1
⋯
x
m
P
m
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}
と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn →∞xn = 1 が成り立つ。
また数列
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}
∏
n
=
1
∞
(
1
+
|
x
n
|
)
{\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )}
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
{\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}
絶対収束 するという[3]
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
{\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}
無限級数
∑
n
=
1
∞
x
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}
絶対収束 するとき、かつそのときに限る[3]
例 三角関数の無限乗積展開 [3]
sin
π
z
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
cos
π
z
=
∏
n
=
1
∞
{
1
−
z
2
(
n
−
1
2
)
2
}
{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}
sinh
π
z
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
cosh
π
z
=
∏
n
=
1
∞
{
1
+
z
2
(
n
−
1
2
)
2
}
{\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}
ウォリス積 [7] [8]
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
2
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
=
π
2
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}
オイラー乗積
ζ
(
s
)
=
∏
p
:
prime
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
ガンマ関数 [3] [9] [10]
1
Γ
(
z
)
:=
z
e
γ
z
∏
m
=
1
∞
(
1
+
z
m
)
e
−
z
/
m
,
γ
:=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
log
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
(
γ
{\displaystyle \gamma }
オイラーの定数 である)[3] [9] qポッホハマー記号 [11] [12] [13]
(
a
;
q
)
∞
:=
∏
k
=
0
∞
(
1
−
a
q
k
)
,
|
q
|
<
1
,
(
a
;
q
)
n
:=
(
a
;
q
)
∞
(
a
q
n
;
q
)
∞
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}
qガンマ関数 [12] [13] [14]
Γ
q
(
x
)
:=
(
1
−
q
)
1
−
x
(
q
;
q
)
∞
(
q
x
;
q
)
∞
,
|
q
|
<
1.
{\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}
行列 を使ってqガンマ関数 を定義することもできる[15]
注
^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。 ^ a b c d e f 神保道夫 、複素関数入門、岩波書店 。
^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html ^ A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版 。
^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
^ a b Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
^ Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html ^ Salem, A. (2012). On a
q
{\displaystyle q}
q
{\displaystyle q}
参考文献 関連項目
