質量分布と重力ポテンシャル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:09 UTC 版)
「重力ポテンシャル」の記事における「質量分布と重力ポテンシャル」の解説
質量 M {\displaystyle M} の点粒子が位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} につくる重力ポテンシャル Φ ( r ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})} は、ニュートンの逆二乗則 g = − G M r / | r | 3 {\displaystyle {\boldsymbol {g}}=-GM{\boldsymbol {r}}/|{\boldsymbol {r}}|^{3}} により Φ ( r ) = − G M | r | {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-{\frac {GM}{|{\boldsymbol {r}}|}}} と書ける。ここに G {\displaystyle G} は重力定数である。このとき重力ポテンシャルは常に負であり、 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } で重力ポテンシャルはゼロに近づく一方、 r → 0 {\displaystyle r\to 0} でポテンシャルは r − 1 {\displaystyle r^{-1}} に比例して発散する。 より一般に、任意の質量分布（英語版）に伴う重力ポテンシャルは各質量要素がつくるポテンシャルを足し上げたものに等しい。例えば N {\displaystyle N} 個の質点系ならば, 質点 M i {\displaystyle M_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , N {\displaystyle i=1,2,\cdots ,N} ) の座標を r i {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}} とすると Φ ( r ) = − ∑ i = 1 N G M i | r − r i | {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {GM_{i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}} となる。 質量分布が3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の連続的な分布 d M = ρ ( r ) d 3 r {\displaystyle dM=\rho ({\boldsymbol {r}})d^{3}r} である場合には、上式の和は体積積分へと置き換えられる。 Φ ( r ) = − ∫ G ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-\int {\frac {G\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d^{3}r'} この関係式は、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は密度分布 ρ {\displaystyle \rho } とポアソン方程式 ∇ 2 Φ = 4 π G ρ {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho } により結びついていることを意味する。ここに ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} はラプラシアンである。実際、上の Φ {\displaystyle \Phi } の積分表示は、無限遠でポテンシャルが 0 であるという境界条件のもとでのこのポアソン方程式の解の グリーン関数を用いた積分表示に等しい。
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