証明の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:09 UTC 版)
A → Aを証明する。 下記にその証明の一例を挙げる（より厳密に証明しようとすればより多くのステップを要する）。 証明の例行番号整式根拠1 A {\displaystyle A} 前提 2 A ∨ A {\displaystyle A\lor A} 1,論理和の導入 3 ( A ∨ A ) ∧ A {\displaystyle (A\lor A)\land A} 1,2,論理積の導入 4 A {\displaystyle A} 3,論理積の消去 5 A → A {\displaystyle A\to A} 1,4,条件付き証明
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証明の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/06 06:23 UTC 版)
ここでは、三角関数を利用した証明を挙げる。 a, b, c を以下のように定義する。 B A C ^ = 3 × a {\displaystyle {\widehat {BAC}}=3\times a} A B C ^ = 3 × b {\displaystyle {\widehat {ABC}}=3\times b} A C B ^ = 3 × c {\displaystyle {\widehat {ACB}}=3\times c} B A C ^ + A B C ^ + A C B ^ = 180 ∘ {\displaystyle {\widehat {BAC}}+{\widehat {ABC}}+{\widehat {ACB}}=180^{\circ }} なので a + b + c = 60 計算を簡単にするために外接円の半径を1とおくと、3辺の長さは AB = 2 sin(3c) BC = 2 sin(3a) AC = 2 sin(3b) となる。 三角形 BPC に正弦定理を適用すると、 B P sin ( c ) = B C sin ( 180 − b − c ) = 2 sin ( 3 a ) sin ( b + c ) = 2 sin ( 3 a ) sin ( 60 − a ) {\displaystyle {\frac {BP}{\sin(c)}}={\frac {BC}{\sin(180-b-c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(b+c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(60-a)}}} B P = 2 sin ( 3 a ) sin ( c ) sin ( 60 − a ) {\displaystyle BP={\frac {2\sin(3a)\sin(c)}{\sin(60-a)}}} sin(3a) を以下のように変形する。 sin ( 3 a ) = 3 sin ( a ) − 4 sin 3 ( a ) = 4 sin ( a ) ( ( 3 2 ) 2 − sin 2 ( a ) ) = 4 sin ( a ) ( sin 2 ( 60 ) − sin 2 ( a ) ) = 4 sin ( a ) ( sin ( 60 ) + sin ( a ) ) ( sin ( 60 ) − sin ( a ) ) = 4 sin ( a ) × 2 sin ( 60 + a 2 ) cos ( 60 − a 2 ) × 2 sin ( 60 − a 2 ) cos ( 60 + a 2 ) = 4 sin ( a ) sin ( 60 + a ) sin ( 60 − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3a)&=3\sin(a)-4\sin ^{3}(a)\\&=4\sin(a)\left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}(a)\right)\\&=4\sin(a)(\sin ^{2}(60)-\sin ^{2}(a))\\&=4\sin(a)(\sin(60)+\sin(a))(\sin(60)-\sin(a))\\&=4\sin(a)\times 2\sin \left({\frac {60+a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60-a}{2}}\right)\times 2\sin \left({\frac {60-a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60+a}{2}}\right)\\&=4\sin(a)\sin(60+a)\sin(60-a)\end{aligned}}} この式を上の BP の式に代入すると BP = 8 sin(a) sin(c) sin(60+a) となる。同様に、 BR = 8 sin(a) sin(c) sin(60+c) 三角形 BPR に余弦定理を適用すると PR2 = BP2 + BR2 - 2BPBRcos(b) この式に上で得た BP, BR の値を代入すると PR2 = 64 sin2(a) sin2(c) (sin2(60+a) + sin2(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b)) ここで (60+a)+(60+c)+b=120+(a+b+c)=180 である。3つの角が (60+a), (60+c), b の三角形に正弦定理と余弦定理を適用すると、 sin2(b) = sin2(60+a) + sin2(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b) よって、 PR = 8sin(a)sin(b)sin(c) 同様に PQ = 8sin(b)sin(a)sin(c) QR = 8sin(a)sin(c)sin(b) これより PR = PQ = QR となり、3辺が等しいことが示された。
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