winning strategy に関する事実
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/14 18:32 UTC 版)
「バナッハ・マズール・ゲーム」の記事における「winning strategy に関する事実」の解説
どんな集合 が を必勝にしうるかという問題はごく自然なものである。もちろん、 が空だったら は明らかに必勝である。なので、 が winning strategy を持つことを保証するために はどれだけ"小さ"ければよいか、補集合がどれだけ"大き"ければよいかといった非公式的な概念を考えているものと捉えることができる。 winning strategiesに関する証明の例を挙げておく。 事実: が可算で、 がT1で、 が孤立点を持たないなら、 がwinning strategyを持つ。 証明: の要素を と番号付けしておく。 が に選ばれたとする。 を の空でない内部とする。このとき、 は の空でない開集合である。なので、 は の元 を、これに部分集合として含まれるように取ることができる。 は を の内側に取ることができる。 は先ほどと同様の理由で、 で を持たないようにとれる。この方法により、各点 はそれぞれ には属さない、よって全ての の共通部分は のどの点も避けてしまう。Q.E.D 事実: を位相空間とし、 を の部分集合の族で最初に挙げてある、ゲームをするために必要な二つの性質を満たすものとし、 は の部分集合とする。 がwinning strategyを持つのは がmeagreであるとき、かつそのときのみである。 ただし、 がmeagreでないからといって、 がwinning strategyを持つと言えるわけではないことに注意。プレイヤーのいずれもwinning strategyを持っていないことだってありうる。: が であって、 が閉区間 から成り立っているとする。このとき、target set がBaire Propertyを持つなら、ゲームがdeterminedである。選択公理の下では、 の部分集合でバナッハ・マズール・ゲームをdeterminedにしないものがある。
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