組み合わせ論的な類似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/27 02:29 UTC 版)
「ガウス・ボネの定理」の記事における「組み合わせ論的な類似」の解説
ガウス・ボネの定理にはいくつかの組み合わせ論的な類似が成り立つ。 M {\displaystyle M} を有限な 2次元擬多様体（英語版）(pseudo-manifold)とし、 χ ( v ) {\displaystyle \chi (v)} を頂点 v {\displaystyle v} を持つ三角形の数とすると、 ∑ v ∈ i n t M ( 6 − χ ( v ) ) + ∑ v ∈ ∂ M ( 3 − χ ( v ) ) = 6 χ ( M ) {\displaystyle \sum _{v\in {\mathrm {int} }{M}}(6-\chi (v))+\sum _{v\in \partial M}(3-\chi (v))=6\chi (M)} が成り立つ。ここに最初の和は M {\displaystyle M} の内部の頂点を渡り、第二の和は境界上の頂点の和をとり、 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} は M {\displaystyle M} のオイラー標数を表す。 三角形を頂点の多い多角形に置き換えても、2-次元擬多様体に対しては同じ公式が成り立つ。n 頂点の多角形に対しては、式の中の 3 と 6 をそれぞれ n/(n-2) と 2n/(n-2) に置き換えればよい。例えば、四角形に対し、それぞれ式の中の 3 と 6 を 2 と 4 へと置き換えればよい。さらに特別な場合は、 M {\displaystyle M} が閉じた 2-次元のデジタル多様体（英語版）(digital manifold)であれば、種数は、 g = 1 + ( M 5 + 2 M 6 − M 3 ) / 8 , {\displaystyle g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3})/8,\ } となる。ここに M i {\displaystyle M_{i}} は曲面上で i {\displaystyle i} 個の隣接点を持つような曲面上の点の数を表している。
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