空間離散化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/10 14:01 UTC 版)
「Smoothed Particle Hydrodynamics」の記事における「空間離散化」の解説
SPHの空間離散化では、まず、次のような条件を満たす重み関数 w h {\displaystyle w_{h}} を導入する: w h ( r ) { > 0 , 0 ≤ r < h , = 0 , r ≥ h , ( 1 ) ∫ R d w h ( | x | ) d x = 1. ( 2 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&w_{h}(r){\begin{cases}>0,&0\leq r<h,\\=0,&r\geq h,\end{cases}}\qquad \qquad &{\rm {(1)}}\\&\int _{\mathbb {R} ^{d}}w_{h}(|x|)dx=1.\qquad &{\rm {(2)}}\end{alignedat}}} この重み関数 w h {\displaystyle w_{h}} を用いて、関数 ϕ {\displaystyle \phi } を ϕ ( x ) ≈ ∫ Ω ϕ ( y ) w h ( | x − y | ) d y ( 3 ) {\displaystyle \phi (x)\approx \int _{\Omega }\phi (y)w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(3)}}} と積分式で近似する。ここに、 Ω {\displaystyle \Omega } は考える物体の領域である。次に、 Ω {\displaystyle \Omega } 内に N {\displaystyle N} 個（ N {\displaystyle N} は有限）の粒子 x i {\displaystyle x_{i}} を配置し、関数 ϕ {\displaystyle \phi } の Ω {\displaystyle \Omega } 内での積分を ∫ Ω ϕ ( y ) d y ≈ ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) ( 4 ) {\displaystyle \int _{\Omega }\phi (y)dy\approx \sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\qquad \qquad {\rm {(4)}}} と近似する。ここに、 m i {\displaystyle m_{i}} と ρ i {\displaystyle \rho _{i}} はそれぞれ、粒子 x i {\displaystyle x_{i}} が代表する質量と密度である。(3)、(4)を用いて、関数 ϕ {\displaystyle \phi } に対するSPHの近似関数を ⟨ ϕ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) w h ( | x − x i | ) ( 5 ) {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(5)}}} と定義する。 勾配作用素 ∇ {\displaystyle \nabla } （１階の微分作用素）に対する近似は、近似関数 ⟨ ϕ ( x ) ⟩ {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle } を微分して ⟨ ∇ ϕ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) ∇ w h ( | x − x i | ) ( 6 ) {\displaystyle \langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(6)}}} と定義される。また、 ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \phi } が ∇ ϕ ( x ) ≈ ∫ Ω { ϕ ( y ) − ϕ ( x ) } ∇ w h ( | x − y | ) d y ( 7 ) {\displaystyle \nabla \phi (x)\approx \int _{\Omega }\{\phi (y)-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(7)}}} と積分式で近似できることから、(4)の近似を用いて ⟨ ∇ ϕ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i { ϕ ( x i ) − ϕ ( x ) } ∇ w h ( | x − x i | ) ( 8 ) {\displaystyle \langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\{\phi (x_{i})-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(8)}}} とも定義される。 拡散を表す微分作用素であるラプラシアン Δ {\displaystyle \Delta } は、 Δ ϕ ( x ) ≈ 2 ∫ Ω ϕ ( x ) − ϕ ( y ) | x − y | 2 ( x − y ) ⋅ ∇ w h ( | x − y | ) d y ( 9 ) {\displaystyle \Delta \phi (x)\approx 2\int _{\Omega }{\frac {\phi (x)-\phi (y)}{|x-y|^{2}}}(x-y)\cdot \nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(9)}}} と近似できることから、(4)の近似を用いて、ラプラシアンの近似を ⟨ Δ ϕ ( x ) ⟩ = 2 ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x ) − ϕ ( x i ) | x − x i | 2 ( x − x i ) ⋅ ∇ w h ( | x − x i | ) ( 10 ) {\displaystyle \langle \Delta \phi (x)\rangle =2\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {\phi (x)-\phi (x_{i})}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(10)}}} と定義する。 微圧縮性流体のSPH(Weakly compressible SPH)の場合、エネルギー保存の考察により、次のような近似作用素が用いられる。連続の式に現れる ρ ∇ ⋅ u {\displaystyle \rho \nabla \cdot u} ( u {\displaystyle u} は流速)は ⟨ ρ ∇ ⋅ u ( x i ) ⟩ = ∑ j = 1 N m j ( u ( x j ) − u ( x i ) ) ⋅ ∇ w h ( | x i − x j | ) ( 11 ) {\displaystyle \langle \rho \nabla \cdot u(x_{i})\rangle =\sum _{j=1}^{N}m_{j}(u(x_{j})-u(x_{i}))\cdot \nabla w_{h}(|x_{i}-x_{j}|)\qquad \qquad {\rm {(11)}}} と定義され、運動方程式に現れる圧力勾配項 ρ − 1 ∇ p {\displaystyle \rho ^{-1}\nabla p} ( p {\displaystyle p} は圧力)は ⟨ ρ − 1 ∇ p ( x i ) ⟩ = ∑ j = 1 N m i ( p ( x j ) ρ ( x j ) 2 + p ( x i ) ρ ( x i ) 2 ) ∇ w h ( | x i − x j | ) ( 12 ) {\displaystyle \langle \rho ^{-1}\nabla p(x_{i})\rangle =\sum _{j=1}^{N}m_{i}\left({\frac {p(x_{j})}{\rho (x_{j})^{2}}}+{\frac {p(x_{i})}{\rho (x_{i})^{2}}}\right)\nabla w_{h}(|x_{i}-x_{j}|)\qquad \qquad {\rm {(12)}}} と定義される。また、拡散率が場によって異なる場合の拡散 ∇ ⋅ μ ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \cdot \mu \nabla \phi } ( μ {\displaystyle \mu } は場の拡散率を表す関数)に対する近似は ⟨ ∇ ⋅ μ ∇ u ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i ( μ ( x ) + μ ( x i ) ) ( u ( x ) − u ( x i ) ) | x − x i | 2 ( x − x i ) ⋅ ∇ w h ( | x − x i | ) ( 13 ) {\displaystyle \langle \nabla \cdot \mu \nabla u(x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {(\mu (x)+\mu (x_{i}))(u(x)-u(x_{i}))}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(13)}}} または、 ⟨ ∇ ⋅ μ ∇ u ( x ) ⟩ = 2 ∑ i = 1 N m i ρ i μ ( x i ) ( u ( x ) − u ( x i ) ) | x − x i | 2 ( x − x i ) ⋅ ∇ w h ( | x − x i | ) ( 14 ) {\displaystyle \langle \nabla \cdot \mu \nabla u(x)\rangle =2\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {\mu (x_{i})(u(x)-u(x_{i}))}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(14)}}} と定義される。
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