磁場の圧力と張力
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/27 15:11 UTC 版)
この節では都合により、ベクトル微分演算子 ∇ {\displaystyle \nabla } を用いる記法で記述する。 流体に働く力 f = j × B {\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {B}}} は j {\displaystyle {\boldsymbol {j}}} に（1）式を代入し、変形すると f = − ∇ ( B 2 2 μ ) + 1 μ ( B ⋅ ∇ ) B {\displaystyle {\boldsymbol {f}}=-\nabla \left({\frac {B^{2}}{2\mu }}\right)+{\frac {1}{\mu }}\left({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {B}}} ：（4） となる。ここで右辺第1項は磁場の等方的圧力 （ B 2 / 2 μ {\displaystyle B^{2}/2\mu } ） による力と解釈出来る。また第2項はその点での磁場方向の単位ベクトルを b {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} 、その方向を z方向にとると 1 μ ( B ⋅ ∇ ) B = ∂ ∂ z ( B 2 2 μ ) b + B 2 μ ∂ ∂ z b {\displaystyle {\frac {1}{\mu }}\left({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla \right){\boldsymbol {B}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {B^{2}}{2\mu }}\right){\boldsymbol {b}}+{\frac {B^{2}}{\mu }}{\frac {\partial }{\partial z}}{\boldsymbol {b}}} ：（5） となり、第1項は磁場方向の張力で、（4）式第1項の z 成分と打ち消し合う。また第2項は磁力線が湾曲しているとき、 ∂ ∂ z b = 1 R e R {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}{\boldsymbol {b}}={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{R}} ：（6） （ここで R は磁力線のその点での曲率半径、 e R {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{R}} はその点から曲率中心へ向かう単位ベクトル）となることから解る通り、大きさ （ B 2 / μ {\displaystyle B^{2}/\mu } ） の張力により流体を曲率中心の方向へ引っ張る力である。 かくして結局、流体に作用する力は f = − ∇ ⊥ ( B 2 2 μ ) + B 2 μ 1 R e R {\displaystyle {\boldsymbol {f}}=-\nabla _{\perp }\left({\frac {B^{2}}{2\mu }}\right)+{\frac {B^{2}}{\mu }}{\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{R}} ：（7） （ ∇ ⊥ {\displaystyle \nabla _{\perp }} は磁力線に直角な2次元微分演算子）と書くことが出来て、磁力線に直角に働く大きさ ( B 2 / 2 μ {\displaystyle B^{2}/2\mu } ) の磁場の圧力と、磁力線の湾曲を引き延ばすように働く大きさ( B 2 / μ {\displaystyle B^{2}/\mu } )の磁場の張力とからなる、と言うことが出来る。
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