生成元と基本関係による構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:25 UTC 版)
「ワイル代数」の記事における「生成元と基本関係による構成」の解説
上で導入された代数W(X) は二つの生成元 X, Y とそれらの間の関係 YX − XY − 1 によって自由に生成された線形環と見なせる。同様にして代数 An を生成元と基本関係によって抽象的に与えることもできる。V をシンプレクティック形式 ω を備えた 2n-次元ベクトル空間のとき、V のワイル代数 W(V) は、V のテンソル代数 T(V) の、 v ⊗ w − w ⊗ v − ω(v, w) の形の元によって生成される両側イデアル Iによる商 W ( V ) := T ( V ) / I {\displaystyle W(V):=T(V)/I} として定められる。言い換えれば W(V) は V によって生成され、[v, w] (:= vw − wv) = ω(v, w) のみを関係式とする多元環である。このとき、W(V) は、シンプレクティックベクトル空間に対して自然に定まるため、非退化なシンプレクティック形式 ω の取り方によらずAn に同型である。 ωが0だとすれば上の関係式はVの対称代数 S(V) = Sym(V) を定めているので、ワイル代数 W(V) はS(V) の量子化（非可換環への変形）と見なすことができる。 Fの標数が 0 だとすると、ワイル代数 W(V) は、対称代数 Sym(V) のモイヤル変形に自然同型である（ここではモイヤル積公式における定数 i ℏ {\displaystyle \scriptstyle i\hbar } を 1 に取り替え、また V を張るベクトルを変数と見て対称代数を V* 上の多項式函数と見なす）。この同型は Sym(V) から W(V) への対称化作用素 a 1 ⋯ a n ↦ 1 n ! ∑ σ ∈ S n a σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ a σ ( n ) {\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}} によって与えられる。
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