幾何中心

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幾何中心

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/07 07:23 UTC 版)

Centroid of a triangle

数学における幾何中心（きかちゅうしん、英: geometric center, centroid）は、その図形に属する全ての点に亙ってとった算術平均の位置にある。この定義は任意の有限次元ユークリッド空間の任意の図形に対して一般化することができる。やや不正確な言い方だが、幾何中心はその点で図形をピン止めすればその図形が完全に釣り合うような点である。

初等幾何学において、「重心」("barycenter") が幾何中心の同義語として用いられるが、天文学や天体物理学において 重心（英語版） (barycenter) は互いを周る多数の天体成す系の重心（質量中心）として用いられ、また物理学において質量中心は（局所密度や比重量を重みとする）全ての点の重み付き算術平均を表している。考えている物理的対象が一様な密度を持つならば質量中心はその図形の幾何中心に一致する。

性質

凸図形の幾何中心は必ずその図形の内側に載っているが、凸でない図形の場合には図形の外部へ出る場合もある。例えば、アニュラス（環帯）やボウル形の幾何中心は、それら図形の中空部分にある。

幾何中心が定まるならば、それはその図形の対称性の群（英語版）に対するすべての対称変換に対する不動点（英語版）である。特に、図形の幾何中心はその各鏡像対称の不変超平面全ての交わりの上に載っている。多くの図形（正多角形, 正多面体, 円筒, 矩形, 菱形, 円周, 球面, 楕円, 楕円体, スーパー楕円, 超楕円体（英語版）, など）の幾何中心がこの原理だけで決定できる。

特に平行四辺形の幾何中心はその二つの対角線の交点であるが、ほかの四辺形ではそれは正しくない。

同じ理由から、不動点を持たない並進対称（英語版）図形の幾何中心は定義されない（か考えている空間の外にあるとする）。

重心の計算

k 個の点 x₁, x₂, x_k ∈ Rⁿ の成す有限集合の幾何中心は

$${\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{k}}{k}}}$$

三角形の重心はその中線を 2 : 1 に分ける、つまり各辺から対する頂点へ結んだ距離の ⅓ の位置にある。その各座標は三頂点の座標の算術平均になっている。つまり、三頂点 L = (x_L, y_L), M = (x_M, y_M), N = (x_N, y_N) に対し、幾何中心 C（三角形幾何学（ドイツ語版）では C と書くのがふつう）は

$${\displaystyle C={\frac {1}{3}}(L+M+N)=({\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}))}$$

三角形の各辺を重心からの垂線との交点で分割した時、分割後の長さの辺を持つ各正方形を図のように時計回りの順番の奇偶でグループ分けすると、グループ別合計面積は互いに等しくなっている。

三角形の一辺を重心からの垂線との交点で分割した時、分割後の長さそれぞれの辺を持つ正方形同士の面積の差は、他の二辺それぞれの長さの辺を持つ正方形同士の面積の差の三分の一となっている。

多角形の重心

自己交叉を持たない閉多角形の重心は、その n 個の頂点を反時計回りに (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (x_n−1, y_n−1) とするとき、各座標が

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{x}&={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\\C_{y}&={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\end{aligned}}}$$