多角形の重心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 07:56 UTC 版)
自己交叉を持たない閉多角形の重心は、その n 個の頂点を反時計回りに (x0, y0), (x1, y1), …, (xn−1, yn−1) とするとき、各座標が C x = 1 6 A ∑ i = 0 n − 1 ( x i + x i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) C y = 1 6 A ∑ i = 0 n − 1 ( y i + y i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) {\displaystyle {\begin{aligned}C_{x}&={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\\C_{y}&={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\end{aligned}}} で与えられる点 (Cx, Cy) を言う。ただし A はこの多角形が囲む符号付き面積 A = 1 2 ∑ i = 0 n − 1 ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})} である[要文献特定詳細情報]。 上記の公式で i = n − 1 のときの i + 1 (= n) に対応する頂点座標が現れているが、ここでは頂点たちは多角形の外周に沿って現れた順に番号付けしていって一周したら、さらに頂点 (xn, yn) は (x0, y0) へ戻ったものと考える。上では反時計回りとしたが、時計回りにした場合すべての符号が反転するから、上記の重心座標の式はその場合にもそのまま有効である。
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