完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 02:25 UTC 版)
「エネルギー・運動量テンソル」の記事における「完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル」の解説
物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。 T μ ν = ( ρ + p ) u μ u ν + g μ ν p {\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,} ρ , p {\displaystyle \rho ,p\,} は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 g μ ν , u μ {\displaystyle g^{\mu \nu },u^{\mu }\,} は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、 u μ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle u^{\mu }=(1,0,0,0)\,} 、流体速度を v i {\displaystyle v^{i}\,} と観測する場合には u μ = ( 1 , v i ) {\displaystyle u^{\mu }=(1,v^{i})\,} ）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。 非相対論的な場合、 g μ ν ≈ η μ ν , | v i | ≪ 1 , p ≪ ρ {\displaystyle g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },\,|v^{i}|\ll 1,\,p\ll \rho \,} となるから、行列形式で成分を書くと T μ ν = ( ρ ρ v x ρ v y ρ v z ρ v x p + ρ v x 2 ρ v x v y ρ v x v z ρ v y ρ v x v y p + ρ v y 2 ρ v y v z ρ v z ρ v x v z ρ v y v z p + ρ v z 2 ) {\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}} となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル π i j = ρ v i v j + p δ i j {\displaystyle \pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}\,} と一致する。
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