基本群に関するファン・カンペンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/18 23:40 UTC 版)
「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の記事における「基本群に関するファン・カンペンの定理」の解説
X {\displaystyle X} を位相空間であって、2つの弧状連結な開部分空間 U 1 {\displaystyle U_{1}} と U 2 {\displaystyle U_{2}} の和集合になっているものとする。 U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} は弧状連結かつ非空と仮定し、 x 0 {\displaystyle x_{0}} は U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} の点で、基本群の基点に用いられるものとする。 U 1 {\displaystyle U_{1}} と U 2 {\displaystyle U_{2}} から X {\displaystyle X} への包含写像は群準同型 j 1 : π 1 ( U 1 , x 0 ) → π 1 ( X , x 0 ) {\displaystyle j_{1}\colon \pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})} と j 2 : π 1 ( U 2 , x 0 ) → π 1 ( X , x 0 ) {\displaystyle j_{2}\colon \pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})} を誘導する。すると X {\displaystyle X} は弧状連結であり、 j 1 {\displaystyle j_{1}} と j 2 {\displaystyle j_{2}} は可換なプッシュアウト（英語版）図式を成す： 自然な射 k {\displaystyle k} は同型である。つまり X {\displaystyle X} の基本群は U 1 {\displaystyle U_{1}} と U 2 {\displaystyle U_{2}} の基本群の自由積を π 1 ( U 1 ∩ U 2 , x 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})} で融合したものにほかならない。 通常、包含によって誘導される射は単射ではなく、この言明のより精密なバージョンは群のプッシュアウト（英語版）の言葉を用いて書かれる。
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