地図と超地図
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 23:33 UTC 版)
デッサンに含まれる頂点には、グラフ理論の意味での次数（接続している辺の数のこと）が定義できる。これはベールイ関数の臨界点としての次数に等しい。前述の例だと、全ての白点の次数は2である。デッサンは、全ての白点が2つの辺を持つとき整[訳語疑問点]（clean）と呼ばれ、それに対応するベールイ関数は純[訳語疑問点]（pure）と呼ばれる。整デッサンは、白点を除去して、代わりにその白点の端点となっている黒点を辺で結ぶことにより、より単純な埋め込みグラフとして描くことができる。先ほどのデッサンの場合だと、黒点2つを頂点とし、それを結ぶ1つの辺と、1つの黒点の自己閉路をもう1つの辺とするグラフになる。整デッサンの場合には黒点のみ描き白点はグラフから除くのが普通である。白点を除いたグラフから、辺の中央に白点を描くことで、元のデッサンを完全に復元できる。 このようにして、曲面に埋め込まれた任意のグラフで面が円板と同相なもの（位相幾何学的な地図）は、グラフの頂点を黒点とし、全ての辺の中央に白点を置くことで、デッサンになる。地図にベールイ関数 f が対応しているなら、その双対地図（線分 [1, ∞] の逆像で作られるデッサン）に対応するベールイ関数は逆数 1/f である。 整ではないデッサンは、全ての点を黒く塗り直し辺の中央に白点を追加することにより同じ曲面上の整デッサンに変換できる。この変換に対応するベールイ対の変換は、ベールイ関数 β を 純ベールイ関数 γ = 4β(1 − β) に置き換える変換である。γ の臨界点は次の公式で直接計算できる: γ−1(0) = β−1(0) ∪ β−1(1) γ−1(∞) = β−1(∞) γ−1(1) = β−1(1/2) こうして、γ−1(1) はβ による線分 [0,1] の中点の逆像になり、γ から作られるデッサンの辺はβ から作られるデッサンの辺の細分（subdivide）（英語版）になる。 整デッサンが地図に対応するとするならば、一般のデッサンに対応するものは超地図[訳語疑問点]（hypermap）である。ハイパーグラフの頂点が黒点に対応し、ハイパーエッジ（hyperedge）が白点に対応する。
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