回路分析（並列LC回路）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:19 UTC 版)
「LC回路」の記事における「回路分析（並列LC回路）」の解説
キルヒホッフの電圧則によると、コンデンサにかかる電圧 V C {\displaystyle V_{C}\,} とコイルにかかる電圧 V L {\displaystyle V_{L}\,} は等しいはずである。 V C = V L {\displaystyle V_{C}=V_{L}\,} 同じくキルヒホッフの電流則によれば、コンデンサを流れる電流とコイルを流れる電流の総和はゼロになるはずである。 i C + i L = 0 {\displaystyle i_{C}+i_{L}=0\,} また、回路素子の性質から以下のことが明らかである。 V L ( t ) = L d i L d t {\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {di_{L}}{dt}}\,} かつ i C ( t ) = C d V C d t {\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\,} これらを組み合わせると、次の2次微分方程式が得られる。 d 2 i ( t ) d t 2 + 1 L C i ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0\,} ここで、ωを次のように定義する。 ω = 1 L C {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,} すると、微分方程式を次のように単純化できる。 d 2 i ( t ) d t 2 + ω 2 i ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0\,} これは多項式 s 2 + ω 2 = 0 {\displaystyle s^{2}+\omega ^{2}=0\,} と同じ形式であり、 s = + j ω {\displaystyle s=+j\omega \,} または s = − j ω {\displaystyle s=-j\omega \,} となる。ここで j は虚数単位である。したがって、この微分方程式の完全な解は次のような形式になる。 i ( t ) = A e + j ω t + B e − j ω t {\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}\,} そして、初期条件を与えれば A {\displaystyle A\,} と B {\displaystyle B\,} を求めることができる。 この指数は複素数なので、この解は正弦波の交流を表している。 初期条件が A = B {\displaystyle A=B\,} となるものだった場合、オイラーの公式により、振幅 2 A {\displaystyle 2A} で角周波数 ω = 1 L C {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,} の実正弦波が得られる。 したがって、解は以下のようになる。 i ( t ) = 2 A cos ω t {\displaystyle i(t)=2A\cos \omega t\,} この結果を満足する初期条件は次の通りである。 i ( t = 0 ) = 2 A {\displaystyle i(t=0)=2A\,} かつ d i ( t = 0 ) d t = 0 {\displaystyle {\frac {di(t=0)}{dt}}=0\,}
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