単有理性とは? わかりやすく解説

単有理性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/08/16 15:30 UTC 版)

有理多様体」の記事における「単有理性」の解説

体 K 上の有理多様体(unirational variety) V は、有理多様体により統制されているので、その函数体 K(V)有限タイプ超越体である(有限タイプとは K は無限でも K(V) 上は有限次数あるように選ぶことが可能な時を言う)。リューロス問題の解は、代数曲線場合には、有理曲線と単有理的な曲線は同じであり、代数曲面場合は、カステルヌオボーの定理であり、単有理的な複素曲面有理曲面含んでいることを意味する何故ならば、どちらの場合算術種数第二多重種数(second plurigenus)ともゼロとなることにより特徴付けられるからである。ザリスキー(Zariski)は、単有理的であるが有理的ではない例を、標数が p > 0 の場合の例(ザリスキー曲面英語版)(Zariski surface))を見つけたClemens & Griffiths (1972)は、3次3次元多様体英語版)(three-fold)が、一般に有理多様体ではなく有理性持たない有理的な例となることを示した。これらの仕事中間ヤコビ多様体英語版)(intermediate Jacobian)を使う。Iskovskih & Manin (1971)は、全ての非特異3次元4次多様体英語版)(quartic threefold)は有理的ではないことを、それらの例が単有理的であることを使って示した。Artin & Mumford (1972)は、第三コホモロジー群中に非自明な捩じれ(torsion)をもつ単有理的な例を見つけた第三コホモロジー非自明な捩じれをもつことは有理的ではないことを意味する任意の体 K に対し、ヤノス・ケラー(英語版)(János Kollár)は2000年に、少なくとも次元が 2 の滑らかな3次超曲面英語版)(cubic hypersurface)は、K 上に定義された点を持つ場合にあ、単有理的となることを証明したケラーのこの結果は、3次曲面英語版)(cubic surface)から始まる(代数的閉包である体上の有理多様体である)、多く古典的な結果改良である。他の単有理的であることが示されている多様体他の例は、曲線のモジュライ空間多く場合である。

※この「単有理性」の解説は、「有理多様体」の解説の一部です。
「単有理性」を含む「有理多様体」の記事については、「有理多様体」の概要を参照ください。

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