半ノルムによる定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 17:31 UTC 版)
「局所凸位相ベクトル空間」の記事における「半ノルムによる定義」の解説
V 上の半ノルムとは、次を満たす写像 p: V → R のことを言う： p は非負あるいは半正定値。すなわち p(x) ≥ 0。 p は正同次あるいは正スケール化可能。すなわち、すべてのスカラー λ に対して p(λx) = |λ|⋅p(x) となる。したがって、特に p(0) = 0 が成り立つ。 p は劣加法的で、次の三角不等式を満たす。p(x + y) ≤ p(x) + p(y)。 p が正定値であるなら、すなわち p(x) = 0 のとき x = 0 であるなら、p はノルムである。一般に半ノルムは必ずしもノルムではないが、半ノルムの族に対する類似の性質である分離性（separatedness）が後述のように定義される。 局所凸空間は、半ノルムの族 {pα}α∈A に沿ったあるベクトル空間 V として定義される。その空間は自然な位相である、半ノルムの始位相（英語版）をもたらす。言い換えると、それはすべての写像 p α , y : V → R ; x ↦ p α ( x − y ) ( ∀ y ∈ V , α ∈ A ) {\displaystyle p_{\alpha ,y}\colon V\to \mathbf {R} ;\;x\mapsto p_{\alpha }(x-y)\quad (\forall y\in V,\,\alpha \in A)} が連続であるような最も粗い（英語版）位相である。この位相に対する y の近傍の基は、次の方法で定義することが出来る：A のすべての有限部分集合 B と、すべての ε > 0 に対して、 U B , ε ( y ) = { x ∈ V : p α ( x − y ) < ε ( ∀ α ∈ B ) } {\displaystyle U_{B,\varepsilon }(y)=\{x\in V:p_{\alpha }(x-y)<\varepsilon \ (\forall \alpha \in B)\}} を定める。次に注意されたい。 U B , ε ( y ) = ⋂ α ∈ B ( p α , y ) − 1 ( [ 0 , ε ) ) . {\displaystyle U_{B,\varepsilon }(y)=\bigcap _{\alpha \in B}(p_{\alpha ,y})^{-1}([0,\varepsilon )).} この位相においてベクトル空間の演算が連続であることは、前述の性質 2 および 3 より従う。結果として得られる位相ベクトル空間は、各 UB,ε(0) が絶対凸かつ併呑であるため（特に後者の性質は平行移動に対して保存されるため）、局所凸である。
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