分散共分散行列の同等性の検定とは?

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分散共分散行列の同等性の検定


例題
 「表 1.に示すような2群3変数データにおいて,2群の分散共分散行列同等か,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 1.2群3変数データ
X1 X2 X2
1 2.9 161.7 120.8
1 2.3 114.8 85.2
1 2.0 128.4 92.0
1 3.2 149.2 97.3
1 2.7 126.0 81.1
1 4.4 133.8 107.6
1 4.1 161.3 114.0
1 2.1 111.5 77.3
2 4.8 198.7 172.9
2 3.6 199.3 157.9
2 2.0 188.4 152.7
2 4.9 183.6 164.2
2 3.9 173.5 172.2
2 4.4 184.9 163.2



検定手順:
  1. 前提
  2. 2 群の p 変量データにおいて,各群の平均偏差データ行列を X1,X2 とする。
    X1,X2 はそれぞれ n1 × p,n2 × p データ行列の各要素から対応する平均値を引いたものである。
  3. 各群の分散共分散行列S1 = X1' X1 / ( n1 - 1 ),S2 = X2' X2 / ( n2 - 1 ) とする。
    例題では,
    分散共分散行列の同等性の検定
    分散共分散行列の同等性の検定
  4. 2 群をプールした分散共分散行列 S* は,1 変量平均値の差の検定t 検定)で,2 群をプールしたときの分散求めるときの式を行列拡張したものである。
    分散共分散行列の同等性の検定
    例題では,
    分散共分散行列の同等性の検定
  5. ν1 = n1 - 1,ν2 = n2 - 1 とおき,| S* | などを行列式として,
    分散共分散行列の同等性の検定
    分散共分散行列の同等性の検定
    とし,次式により χ20 を求める。
    分散共分散行列の同等性の検定
    例題では,| S1 | = 8520.68,| S2 | = 2780.09,| S* | = 12021.40 より -2 ln V = 9.73042,また b = 0.718849 となるから,χ20 = 6.99471 である。
  6. χ20 は,自由度 p ( p + 1 ) / 2 の χ2 分布に従う。
    例題では,自由度は 6 である。
  7. 有意確率P = Pr { χ2 ≧ χ20 } とする。
    χ2分布表,またはχ2分布の上確率計算参照すること。
    例題では,自由度 6 の χ2 分布において,Pr{χ2 ≧ 12.59}= 0.05 であるからP = Pr{χ2 ≧ 6.9917}> 0.05 である(正確な有意確率P = 0.3213371)。
  8. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),P > α であるから帰無仮説採択する。すなわち,「2 群の分散共分散行列等しくないとはいえない」。



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