分散共分散行列の同等性の検定

統計学用語辞典

分散共分散行列の同等性の検定

例題：
　「表 1．に示すような２群３変数のデータにおいて，２群の分散共分散行列が同等か，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1．２群３変数のデータ

群	X1	X2	X2
1	2.9	161.7	120.8
1	2.3	114.8	85.2
1	2.0	128.4	92.0
1	3.2	149.2	97.3
1	2.7	126.0	81.1
1	4.4	133.8	107.6
1	4.1	161.3	114.0
1	2.1	111.5	77.3
2	4.8	198.7	172.9
2	3.6	199.3	157.9
2	2.0	188.4	152.7
2	4.9	183.6	164.2
2	3.9	173.5	172.2
2	4.4	184.9	163.2

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「2 群の分散共分散行列は等しい」。
   • 対立仮説 H1：「2 群の分散共分散行列は異なる」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
   
   
2. 2 群の p 変量データにおいて，各群の平均偏差データ行列を X1，X2 とする。
   X1，X2 はそれぞれ n1 × p，n2 × p データ行列の各要素から対応する平均値を引いたものである。
   
3. 各群の分散共分散行列を S1 = X1' X1 / ( n1 - 1 )，S2 = X2' X2 / ( n2 - 1 ) とする。
   例題では，
   
   
   
4. 2 群をプールした分散共分散行列 S* は，1 変量の平均値の差の検定（t 検定）で，2 群をプールしたときの分散を求めるときの式を行列に拡張したものである。
   
   例題では，
   
   
5. ν1 = n1 - 1，ν2 = n2 - 1 とおき，| S* | などを行列式として，
   
   
   とし，次式により χ²0 を求める。
   
   例題では，| S1 | = 8520.68，| S2 | = 2780.09，| S* | = 12021.40 より -2 ln V = 9.73042，また b = 0.718849 となるから，χ²0 = 6.99471 である。
   
6. χ²0 は，自由度 p ( p + 1 ) / 2 の χ² 分布に従う。
   例題では，自由度は 6 である。
   
7. 有意確率を P = Pr ｛ χ² ≧ χ²0 ｝ とする。
   χ²分布表，またはχ²分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，自由度 6 の χ² 分布において，Pr｛χ² ≧ 12.59｝= 0.05 であるから，P = Pr｛χ² ≧ 6.9917｝＞ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.3213371）。
   
8. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「2 群の分散共分散行列は等しくないとはいえない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「2 群の分散共分散行列は等しくない」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＞ α であるから，帰無仮説を採択する。すなわち，「2 群の分散共分散行列は等しくないとはいえない」。