分布関数の性質
分布関数 F ( x ) は，次のような基本的条件を満たす関数である。
- x'＜ x”ならば F ( x') ≦ F ( x”) であること。
すなわち，F ( x ) は単調非減少関数である。
- F ( - ∞ ) = 0， F ( + ∞ ) = 1 であること。
すなわち，F ( x ) は x → ± ∞ において極限を持つこと，および，F ( x ) は非負であること。
- 不連続点における F ( x ) の値をどのように決めるかは任意であるが，便宜上 F ( x + 0 ) = F ( x ) つまり，‘右から連続'と約束する。
 図 1．分布関数 F( x ) |
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以上のような各性質を持つ関数のうちで，実用的な価値を持つものは次の 2 種である。
- 絶対連続な関数
至るところ連続で，F'( x ) = f ( x ) が存在し，かつそれが有限個の点以外では，全ての点で連続である。
f ( x ) を F の 密度関数 という。
図 2．連続変数の分布関数と密度関数
- 階段関数
不連続点 xi で，それぞれ pi ずつ飛躍する。
つまり，pi = F ( xi ) - F ( xi - 0 ) である。
確率関数は f ( xi ) = pi
である。
図 3．離散変数の分布関数と確率関数
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