位数と構造

ウィキペディア小見出し辞書

位数と構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:39 UTC 版)

「位数 (群論)」の記事における「位数と構造」の解説

群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。 群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1 と a が単位元であることは同値である。G のすべての（単位元でない）元がその逆元と同じで (a2 = e で）あれば、ord(a) = 2 でありしたがって G は初等的な群論（英語版）によって a b = ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 = b a なのでアーベル群である。このステートメントの逆は正しくない。例えば、6を法とした整数のなす（加法的）巡回群 Z6 はアーベル群であるが、数 2 は位数 3 をもつ： 2 + 2 + 2 = 6 ≡ 0 ( mod 6 ) . 位数の2つの概念の関係は次のようである。a によって生成される部分群を ⟨ a ⟩ = { a k : k ∈ Z } と書けば、 ord ⁡ ( a ) = ord ⁡ ( ⟨ a ⟩ ) . 任意の整数 k に対して ak = e ⇔ ord(a) は k を割り切る。 一般に、G の任意の部分群の位数は G の位数を割り切る。よりきちんと書くと、H が G の部分群であれば、 ord(G) / ord(H) = [G : H], ここで [G : H] は H の G における指数と呼ばれ、整数である。これはラグランジュの定理である。（しかしながらこれは G の位数が有限のときにのみ正しい。ord(G) = ∞ であれば、商 ord(G) / ord(H) は意味をなさない。） 上から直ちに出る結果として、群のすべての元の位数は群の位数を割り切ることがわかる。例えば、上で示された対称群において、ord(S3) = 6 であったが、元の位数は 1, 2, 3 である。 以下の部分的な逆が有限群に対して正しい： d が群 G の位数を割り切り d が素数であれば、G の位数 d の元が存在する（これはコーシーの定理と呼ばれることがある）。主張は合成数の位数に対しては成り立たない、例えば、クラインの四元群は位数 4 の元をもたない。これは帰納法によって証明できる。定理の結果は次を含む：群 G の位数が素数 p のベキであることと G のすべての a に対して ord(a) が p のあるベキであることは同値である。 a の位数が無限であれば、a のすべてのベキも同様に無限の位数をもつ。a の位数が有限であれば、次の公式が a のベキの位数に対して成り立つ： すべての整数 k に対して ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k) とくに、a とその逆元 a−1 は同じ位数をもつ。 任意の群において、 ord ⁡ ( a b ) = ord ⁡ ( b a ) 積 ab の位数を a と b の位数に関係付ける一般的な公式は存在しない。実は、a と b の位数が両方有限であるのに ab の位数が無限であったり、a と b の位数が無限であるのに ab の位数が有限であることがある。前者の例は群 S y m ( Z ) において a(x) = 2-x, b(x) = 1-x で ab(x) = x-1。後者の例は a(x) = x+1, b(x) = x-1 で ab(x) = id。ab = ba であれば、少なくとも ord(ab) は lcm(ord(a), ord(b)) を割り切るということは言える。その結果、有限アーベル群において、m で群の元のすべての位数の最大値を表せば、すべての元の位数は m を割り切ることを証明できる。