任意のアーベル群との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:10 UTC 版)
「自由アーベル群」の記事における「任意のアーベル群との関係」の解説
任意のアーベル群 A が与えられると、つねに自由アーベル群 F と F から A への全射群準同型が存在する。与えられた群 A への全射を構成する 1 つの方法は F = Z ( A ) {\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}} をA から整数全体への 0 でないのが有限個の関数の集合として表現される A 上の自由アーベル群とすることである。このとき全射は A の元の形式和としての F の元の表現から定義できる： f = ∑ { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } f ( x ) e x ↦ ∑ { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } f ( x ) x , {\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)x,} ただし最初の和は F においてで、二番目の和は A においてである。この構成は普遍性の例と見ることができる： この全射は関数 e x ↦ x {\displaystyle e_{x}\mapsto x} を拡張する唯一の群準同型である。 F と A が上記のとき、F から A への全射の核 G はまた自由アーベルである、なぜなら F の部分群（単位元に写される元からなる部分群）だからだ。それゆえ、これらの群は短完全列 0 → G → F → A → 0 をなす、ここで F と G はともに自由アーベルであり A は商群 F/G に同型である。これは A の自由分解である。さらに、選択公理を仮定すると、自由アーベル群はちょうどアーベル群の圏において射影対象である。
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