二階線型回帰列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/27 01:16 UTC 版)
係数体 K の二つのスカラー a および b ≠ 0 を固定して、線型漸化式 u n + 2 = a u n + 1 + b u n {\displaystyle u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}} (R) を満たす列の一般項が、K における特性多項式の根の値に従って、以下のように与えられることが示される。 λ r 1 n + μ r 2 n {\displaystyle \lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}} （ただし、r1, r2 は多項式 X2 − aX − b の相異なる二根） ( λ + μ n ) r 0 n {\displaystyle (\lambda +\mu n)r_{0}^{n}} （ただし、r0 は多項式 X2 − aX − b の二重根） また、λ と μ は列の最初の二項によって決まる, 初期パラメータである。 前者についてはさらに、多項式 X2 − aX − b の二根 r1, r2 が互いに共軛な複素数 ρeiθ, ρe−iθ であるとき、数列の一般項を ρ n ( A cos ( n θ ) + B sin ( n θ ) ) {\displaystyle \rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))} と書くことができる。ただし、A, B ∈ K は数列の最初の二項から決まるパラメータである。 ここまで数列はある番号 n0 から始まるものとして扱ったが、以下、一般性を失うことなく数列は自然数全体の成す集合 N 上で定義されるものと仮定してよい。実際、数列 (un) が n0 からしか定義されていないとき、N 上で定義される数列 (vn)n∈N を vn = un+n0 によって定めることができる。 基本的な考え方は線型漸化式 (R) を満たす幾何数列を求めること、即ち数列 (rn)n∈N が (R) を満たすようなスカラー r を見つけることである。そうするとこの問題が、二次方程式 r2 − ar − b = 0 を解くことと等価であることが容易に理解される。多項式 r2 − ar − b はこの数列の特性方程式と呼ばれ、その判別式は Δ = a2 − 4b で与えられる。特性多項式の根の数によって、いくつかの場合が区別されねばならない。
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