乗法群の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)
非零複素数の全体 C* = C ∖ {0} は、複素数体 C の乗法群 C× であり、C における距離空間としての部分位相空間と見て、位相群を成す。また、絶対値 1 の複素数全体の成す群（円周群）U はその部分位相群であり、写像 R / Z → U ; x + Z ↦ e 2 π i x {\displaystyle \mathbb {R/Z} \to \mathbb {U} ;\;x+\mathbb {Z} \mapsto e^{2\pi ix}} および写像 C ∗ → R + ∗ × U ; r e i θ ↦ ( r , e i θ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {U} ;\;re^{i\theta }\mapsto (r,e^{i\theta })} は位相群としての同型である。ここに、R/Z は商位相群、R∗+ は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、× は位相群の直積を表す。
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