世界間隔
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
前述した考察により、特殊相対性理論では時空間は4次元のベクトル空間で記述される事がわかった。このベクトル空間の点を世界点と呼ぶ。 慣性座標系から見てある時刻 t1 に（3次元空間上の） x1 を光が通過し、この光が時刻 t2 に位置 x2 まで伝播したとする。光速度は c であったので、これは | x 1 − x 2 | | t 1 − t 2 | = c {\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}{|t_{1}-t_{2}|}}=c} すなわち、 c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 − | x 1 − x 2 | 2 = 0 {\displaystyle c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{2}=0} である事を意味する。 世界点 1 と世界点 2 の間に定義される量 s 12 := c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 − | x 1 − x 2 | 2 {\displaystyle s_{12}:={\sqrt {c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{2}}}} を世界間隔もしくは世界距離[要出典]と呼ぶことにすると、ある慣性系において s122 = 0 が成り立つならば、他の任意の慣性系でも s′122 = 0 が成り立つことになる。よって、微小世界間隔 d s 2 := c 2 ( d t ) 2 − | d x | 2 , d s ′ 2 := c 2 ( d t ′ ) 2 − | d x ′ | 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}:=c^{2}(\mathrm {d} t)^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}|^{2},\quad \mathrm {d} s'^{2}:=c^{2}(\mathrm {d} t')^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {x'}}|^{2}} は同次微小量であることから d s 2 = a d s ′ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=a\mathrm {d} s'^{2}} という関係式が成り立つはずである。ここで、時空の均質性からこの係数 a は慣性系間の相対速度の絶対値にのみ依存することが要請される。三つの慣性系 K1, K2, K3 の間の相対速度を V12, V23, V31 などとすると、それぞれの慣性系における微小世界間隔 ds1, ds2, ds3 および係数 a(|V|) についての関係式として d s 1 2 = a ( | V 12 | ) d s 2 2 , d s 2 2 = a ( | V 23 | ) d s 3 2 , d s 3 2 = a ( | V 31 | ) d s 1 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s_{1}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{12}|)\mathrm {d} s_{2}^{2},\quad \mathrm {d} s_{2}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{23}|)\mathrm {d} s_{3}^{2},\quad \mathrm {d} s_{3}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{31}|)\mathrm {d} s_{1}^{2},} ∴ a ( | V 12 | ) a ( | V 23 | ) = a ( | V 31 | ) = a ( | − V 12 − V 23 | ) {\displaystyle \therefore {\frac {a(|{\boldsymbol {V}}_{12}|)}{a(|{\boldsymbol {V}}_{23}|)}}=a(|{\boldsymbol {V}}_{31}|)=a(|-{\boldsymbol {V}}_{12}-{\boldsymbol {V}}_{23}|)} が得られるが、後者の左辺は V12, V23 の絶対値にのみ依存するのに対して右辺は向きにも依存するので、この関係式が成り立つのは a(|V|) ≡ 1 のときのみである。したがって、微小世界間隔はあらゆる慣性系間で保存されることになるので、有限の世界間隔についても慣性系間での保存量となる。
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