上部構造アプローチ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)
以下ではモデル論的アプローチに分類される上部構造アプローチについて述べる。任意の集合 S {\displaystyle S} が与えられたとき、 S {\displaystyle S} の上部構造（superstructure）とは次のように帰納的に定義される集合 V ( S ) {\displaystyle V(S)} である： V 0 ( S ) = S , {\displaystyle V_{0}(S)=S,} V n + 1 ( S ) = V n ( S ) ∪ P ( V n ( S ) ) , {\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup {\mathcal {P}}(V_{n}(S)),} V ( S ) = ⋃ n ∈ N V n ( S ) . {\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).} つまり S {\displaystyle S} の上部構造は S {\displaystyle S} から始めて、 S {\displaystyle S} の冪集合を S {\displaystyle S} に添加していく操作を繰り返し、それによって得られた列の和集合を取ることで得られる。実数たちの上部構造は沢山の数学的構造を含む：例えば全ての可分距離空間や距離化可能位相線型空間の同型なコピーを含む。実質的には、解析学者が興味を持つ全ての数学が V ( R ) {\displaystyle V(\mathbb {R} )} の中で展開できる。一般に、ある一群の数学的対象 X 0 , X 1 , … {\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots } について議論したいならば、それらの和集合の上部構造を考えればよい。 超準解析の道具立ては集合 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } と写像 ∗ : V ( R ) → V ( ∗ R ) {\displaystyle \ast \colon V(\mathbb {R} )\to V({}^{\ast }\mathbb {R} )} で幾つかの追加の性質を満たすものである。それらの原理を定式化するために、最初に幾つかの定義を述べる。 論理式が有界であるとは、その論理式に現れるどの量化子も、それぞれある集合上に制限されていること、すなわち、次の何れかの形をしているときにいう： ∀ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , … , α n ) {\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} ∃ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , … , α n ) {\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} 例えば、論理式 ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ 2 B , x ∈ y {\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y} は有界である：全称量化された変数 x は A 上を走り, 存在量化された変数 y は B の冪集合上を走る。他方で、 ∀ x ∈ A , ∃ y , x ∈ y {\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y} は有界でない。なぜなら y の量化が制限されていないからである。有界論理式の真偽はあるランクの V n ( S ) {\displaystyle V_{n}(S)} の中で完全に決定され、 V ( S ) {\displaystyle V(S)} 全体を参照する必要がないことが重要である。
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