一般的な久保公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/23 22:16 UTC 版)
時間依存しないハミルトニアン H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} で記述される量子系を考える。物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値は次のように表される。 ⟨ A ^ ⟩ = 1 Z 0 Tr [ ρ 0 ^ A ^ ] = 1 Z 0 ∑ n ⟨ n | A ^ | n ⟩ e − β E n ρ 0 ^ = e − β H ^ 0 = ∑ n | n ⟩ ⟨ n | e − β E n {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho _{0}}}&=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}} ここで Z 0 = T r [ ρ 0 ] {\displaystyle Z_{0}=Tr[\rho _{0}]} は分配関数である。平衡状態にあった系に、時刻 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン H ^ ( t ) = H ^ 0 + V ^ ( t ) θ ( t − t 0 ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0})} で記述される。密度行列 ρ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\rho }}(t)} と A ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} の期待値の時間発展は次のように表される。 ⟨ A ^ ( t ) ⟩ = 1 Z 0 Tr [ ρ ^ ( t ) A ^ ] = 1 Z 0 ∑ n ⟨ n ( t ) | A ^ | n ( t ) ⟩ e − β E n ρ ( t ) ^ = ∑ n | n ( t ) ⟩ ⟨ n ( t ) | e − β E n {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho (t)}}&=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}} 状態 | n ( t ) ⟩ {\displaystyle |n(t)\rangle } の時間発展はシュレーディンガー方程式 i ∂ t | n ( t ) ⟩ = H ^ ( t ) | n ( t ) ⟩ {\displaystyle i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle } によって支配されている。 V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} は小さい摂動と見なせるので、相互作用描像 | n ^ ( t ) ⟩ {\displaystyle |{\hat {n}}(t)\rangle } を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける | n ( t ) ⟩ = e i H ^ 0 t | n ^ ( t ) ⟩ = e i H ^ 0 t U ^ ( t , t 0 ) | n ^ ( t 0 ) ⟩ | n ^ ( t 0 ) ⟩ = e i H ^ 0 t 0 | n ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}|n(t)\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle \\|{\hat {n}}(t_{0})\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle \end{aligned}}} V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} の線形次数においては、 U ^ ( t , t 0 ) = 1 − i ∫ t 0 t d t ′ V ^ ( t ′ ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')} である。よって線形次数で摂動による期待値 A ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} を得る。 ⟨ A ^ ( t ) ⟩ = ⟨ A ^ ⟩ 0 − i ∫ t 0 t d t ′ 1 Z 0 ∑ n e − β E n ⟨ n ( t 0 ) | A ^ ( t ) V ^ ( t ′ ) − V ^ ( t ′ ) A ^ ( t ) | n ( t 0 ) ⟩ = ⟨ A ^ ⟩ 0 − i ∫ t 0 t d t ′ ⟨ [ A ^ ( t ) , V ^ ( t ′ ) ] ⟩ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{aligned}}} ここで括弧 ⟨ ⟩ 0 {\displaystyle \langle \rangle _{0}} は熱平衡状態 H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} での平均値を表す。
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