最小作用の原理
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最小作用の原理（さいしょうさようのげんり、英: principle of least action）は、物理学における基本原理の一つで、特に解析力学の構成において、その基礎付けを与える動力学の原理である。最小作用の原理に従って、力学系の運動（時間発展）は、作用と呼ばれる汎関数を最小にするような軌道に沿って実現される（実際には「最小」になるとは限らず、仮想的な軌道の変化についての（第一）変分が零になる、すなわち「極値（停留）」をとるということなのであるが、既に「最小作用の法則（原理）」は歴史的な名称として定着してしまっているのであり、現代的には変分原理（variational principle）という方がより適切である）。
物理学における最大の指導原理の一つであり、電磁気学におけるマクスウェルの方程式や相対性理論におけるアインシュタイン方程式ですら、対応する作用の極小条件から導かれる。また、量子力学においても、この法則そのものは、ファインマンの経路積分の考え方によって理解できる。物体は運動において様々な運動経路（軌道）をとる事が可能であるが、作用積分が極値（鞍点値）をとる(すなわち最小作用の原理を満たす)経路が最も量子力学的な確率密度が高くなる事が知られている。
モーペルテュイの原理
力学における初期の変分原理であるモーペルテュイの原理（Maupertuis' principle）は、1747年にフランスの数学者モーペルテュイによって考え出された。モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。一個の質点からなる系において、運動エネルギー K とすると
モーペルテュイの原理
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「最小作用の原理」の記事における「モーペルテュイの原理」の解説
力学における初期の変分原理であるモーペルテュイの原理（Maupertuis' principle）は、1747年にフランスの数学者モーペルテュイによって考え出された。モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。一個の質点からなる系において、運動エネルギー K とすると δ ∫ 2 K d t = 0 {\displaystyle \delta \int 2K\,dt=0} が成り立つ経路を運動する。質点が運動する経路の長さを L、質点の速度を v として、dL = v dt であるから δ ∫ m v d L = 0 {\displaystyle \delta \int mv\,dL=0} となる。つまり、質点の運動は、運動量 mv と経路の微小片 dL の積の積分に対する停留値問題に帰着する。 系の全エネルギーを E、ポテンシャル・エネルギーを V とすると δ ∫ 2 m ( E − V ) d L = 0 {\displaystyle \delta \int {\sqrt {2m(E-V)}}\,dL=0} と表すことができる。この原理は光学におけるフェルマーの原理 δ ∫ n d L = 0 {\displaystyle \delta \int n\,dL=0} と対比される。ここで n は屈折率、L は光の通る経路である。 同様にラグランジアンにおける停留値問題、 δ ∫ t 1 t 2 L d t = δ ∫ t 1 t 2 ( K − V ) d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}(K-V)\,dt=0} の式で表される原理をハミルトンの原理（ハミルトンの最小作用の原理）と言う。
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