モデルと無矛盾性とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > ウィキペディア小見出し辞書 > モデルと無矛盾性の意味・解説 

モデルと無矛盾性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/19 15:42 UTC 版)

到達不能基数」の記事における「モデルと無矛盾性」の解説

ZFCの下では、κ が強到達不能であるときVκ がZFCモデルになる。ZFの下では、κ が弱到達不能であるときゲーデル宇宙のLκ がZFCモデルになる。よって、ZF+"弱到達不能基数存在する"はZFC無矛盾であることを導き不完全性定理よりその存在ZFC証明できない。つまり、到達不能基数巨大基数一種である。 VがZFC標準モデルで κ がVの到達不能基数であるとき、Vκ はZF集合論intended modelになり、Def(Vκ )はNBG集合論intended modelになり、Vκ +1MK集合論intended modelになる。ここで、Def(X)はXの Δ0 定義可能な部分集合である(en:constructible universe)。しかしながら、Vκ がZF標準モデルになるために κ が到達不能基数である必要はなく、基数である必要すらない。 VがZFCモデルであるとする。Vが強到達不能基数持ってなくても、持っていたとしても κ をVの最小到達不能基数とすると、Vκ は強到達不能基数持たないZFC標準モデルである。すなわち、ZFC無矛盾ならZFC+"強到達不能基数存在しない"は無矛盾である。同様にVが弱到達不能基数持ってなくても、持っていたとしても κ をVの最小の弱達不能基数とすると、Lκ は弱到達不能基数持たないZFC標準モデルである。だから、ZFC無矛盾ならZFC+"弱到達不能基数存在しない"も無矛盾である。このことから、ZFCからは到達不能基数存在証明できないし、ZFC到達不能基数非存在矛盾しないZFC到達不能基数存在矛盾しないかという問題はもっと微妙である。前段落で見られた、「ZFC+"到達不能基数がある"が無矛盾ならば、ZFC+"到達不能基数存在しない"は無矛盾である」の証明ZFCの中で形式化可能である。しかし、「ZFC無矛盾ならば、ZFC+"到達不能基数存在する"が無矛盾ということZFC形式化された証明存在しえない。これはゲーデルの第2不完全性定理からわかる。不完全性定理よりZFC+"到達不能基数存在する"が無矛盾なら自身無矛盾性その中で証明できないZFCが「ZFC無矛盾ならば、ZFC+"到達不能基数存在する"が無矛盾である」を証明するとしたら、当然ZFC+"到達不能基数存在する"でも同じことを示せることになるが、ZFC+"到達不能基数存在する"は前述のようにZFC無矛盾性証明するので、結局ZFC+"到達不能基数存在する"が自身無矛盾性証明できることになってしまうが、これは矛盾であるからである。 到達不能基数存在性に関するZFC形式化できない議論がある。そのような議論一つがHrbacek & Jech (1999, p. 279)に表れている。もし集合論モデル M の拡大モデルがあれば、M の全ての順序数によるクラスは、それ自体到達不能基数になる。というものである

※この「モデルと無矛盾性」の解説は、「到達不能基数」の解説の一部です。
「モデルと無矛盾性」を含む「到達不能基数」の記事については、「到達不能基数」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「モデルと無矛盾性」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「モデルと無矛盾性」の関連用語

モデルと無矛盾性のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



モデルと無矛盾性のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの到達不能基数 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS