ミルナーのK理論
ミルナーの K-理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/14 09:27 UTC 版)
「代数的K理論」の記事における「ミルナーの K-理論」の解説
詳細は「ミルナーのK-理論」を参照 体 k に対する K2 の上記の表現から、ミルナー(Milnor)は次の「高次」K-群の定義を導いた。 K ∗ M ( k ) := T ∗ ( k × ) / ( a ⊗ ( 1 − a ) ) . {\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a))\ .} このように、 { a ⊗ ( 1 − a ) : a ≠ 0 , 1 } {\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}} により生成された両側イデアルにより乗法群 k× のテンソル代数の商の次数付き部分として定義される。 n = 0, 1, 2 に対し、これらは以下に一致するが、n ≧ 3 に対しては、一般には異なっている。例えば、n ≧ 2 に対し KMn(Fq) = 0 であるが、奇数の n に対し KnFq は 0 ではない（以下を参照）。 テンソル代数上のテンソル積は、 K ∗ M ( F ) {\displaystyle K_{*}^{M}(F)} を次数付き可換（英語版）(graded-commutative)な次数付き環とするような積 K m × K n → K m + n {\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}} を導く。 K n M ( k ) {\displaystyle K_{n}^{M}(k)} の中の元 a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n {\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}} の像は、記号として { a 1 , … , a n } {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} と書かれる。k の中で可逆な整数 m に対して、写像 ∂ : k ∗ → H 1 ( k , μ m ) {\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})} が存在する。ここに μ m {\displaystyle \mu _{m}} はある k の分離的拡大の単元の m-乗根を表す。これは、 ∂ n : k ∗ × ⋯ × k ∗ → H n ( k , μ m ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ } へ拡大され、ミルナーの定義関係式を満たす。従って、 ∂ n {\displaystyle \partial ^{n}} は、ガロア記号写像(Galois symbol map)と呼ばれる K n M ( k ) {\displaystyle K_{n}^{M}(k)} とみなすことができる。 体のエタールコホモロジー（あるいはガロアコホモロジー）とミルナーの K-理論（modulo 2）の間の関係は、ミルナー予想と呼ばれ、ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)により証明された。奇素数に対する類似な命題がブロッホ・加藤予想であり、ヴォエヴォドスキー、ロスト(Rost)、他により証明された。
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