ホモロジー代数において
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 04:55 UTC 版)
「中山の補題」の記事における「ホモロジー代数において」の解説
中山の補題はまたホモロジー代数学においてもいくつかのバージョンがある。上記の全射についてのステートメントは次のことを示すのに使える。 M を局所環上有限生成加群とする。すると M が射影加群であることと自由加群であることは同値である。 これの幾何学的、大域的な対応物は Serre–Swan の定理であり、射影加群と連接層を関係づける。 より一般に、 R を局所環とし M を R 上の有限生成加群とする。このとき M の R 上の射影次元は M のすべての極小自由分解の長さに等しい。さらに、射影次元は M の大域次元に等しく、これは定義によって次を満たす最小の整数 i ≥ 0 である： Tor i + 1 R ( k , M ) = 0. {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.} ここで k は R の剰余体であり Tor はTor関手である。
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