ホモロジーの場合のステートメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:50 UTC 版)
「普遍係数定理」の記事における「ホモロジーの場合のステートメント」の解説
加群のテンソル積 Hi(X; Z) ⊗ A を考えよう。定理は短完全列 0 → H i ( X ; Z ) ⊗ A → μ H i ( X ; A ) → Tor ( H i − 1 ( X ; Z ) , A ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A{\overset {\mu }{\to }}H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0} が存在すると述べている。さらに、この列は、自然にではないが、分裂する。ここで μ は双線型写像 Hi(X; Z) × A → Hi(X; A) によって誘導される写像である。 係数環 A が Z/pZ であれば、これはボックシュテイン・スペクトル系列（英語版）の特別な場合である。 一般に、R を単項イデアル整域とする。L• を R 加群の鎖複体、M を R 加群とし、任意の i ∈ Z に対して Li が捩れなし加群であるとする。このとき、任意の i ∈ Z に対して次の完全列が存在する： 0 → H i ( L ∙ ) ⊗ R M → H i ( L ∙ ⊗ R M ) → Tor 1 R ( H i − 1 ( L ∙ ) , M ) → 0. {\displaystyle 0\to H_{i}(L_{\bullet })\otimes _{R}M\to H_{i}(L_{\bullet }\otimes _{R}M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(H_{i-1}(L_{\bullet }),M)\to 0.} さらに、任意の i ∈ Z に対して Li が自由加群ならばこの完全列は分裂する。 M が平坦加群であれば、Tor の項は現れないことに注意。
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