フレシェ空間の構成法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/20 15:03 UTC 版)
「フレシェ空間」の記事における「フレシェ空間の構成法」の解説
半ノルム ǁ ⋅ ǁ とはベクトル空間 X から実数全体の成す集合への写像で、任意のベクトル x, y とスカラー c について、以下の三条件 ‖ x ‖ ≥ 0 , {\displaystyle \|x\|\geq 0,} ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,} ‖ c ⋅ x ‖ = | c | ‖ x ‖ {\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|} を満たすもののことであったのを思い出そう。ここでさらに ǁxǁ = 0 が実は x = 0 を導くならば ǁ ⋅ ǁ はノルムになるが、以下の如くフレシェ空間の構成を可能にするという点において半ノルムのほうが有効である。 フレシェ空間の構成にあたって、ベクトル空間 X と X 上の半ノルム族 ǁ ⋅ ǁk で以下の二性質を満たすものから始めるのが典型的である。 点 x ∈ X が ǁxǁk = 0 を全ての k ≥ 0 に対して満たすならば x = 0 である。 X 内の点列 (xn) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁk に関してコーシー列を成すならば、適当な点 x ∈ X が存在して (xn) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁk に関して x に収束する。 このとき、これらの半ノルムから（上述の如く）導かれる位相によって X はフレシェ空間になる。実際、半ノルムに関する条件の前者からはハウスドルフ性が、後者からは完備性がそれぞれ保証される。これと同じ位相を誘導する平行移動不変かつ完備な距離関数を d ( x , y ) = ∑ k = 0 ∞ ‖ x − y ‖ k 1 + ‖ x − y ‖ k 2 − k , ( x , y ∈ X ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\;2^{-k},\quad (x,y\in X)} で定義することができる。 関数 u → u/(1+u) は [0, ∞) を単調に [0, 1) に写すことに注意すれば、故に上記定義からは d(x, y) が「十分小さい」ことと「十分大きな」K が存在して k = 0, …, K に対する ǁx - yǁk が何れも「小さい」こととが同値になることが保証されることがわかる。
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