コーシー・ビネの公式

ウィキペディア

コーシー・ビネの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/01 03:15 UTC 版)

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "コーシー・ビネの公式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2022年3月）

「ビネ・コーシーの恒等式」とは異なります。

代数学におけるコーシー・ビネの公式（こーしー・びねのこうしき、英: Cauchy–Binet formula）、あるいは、コーシー・ビネの定理、コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列の行列式は、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和に等しいというものであり^[1]、行列の成分が実数や複素数などの可換環において成立する。

定理

n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。S を要素数 (|S| = )m の [n] の部分集合とする。A_S を、A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m次正方行列、B^S を、B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m次正方行列とする。

このとき積 AB は m × m行列となり、その行列式は

${\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}$ カテゴリ