要素を用いた記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 21:46 UTC 版)
「コーシー・ビネの公式」の記事における「要素を用いた記法」の解説
A := ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , m ⋯ a m , n ) , B := ( b 1 , 1 ⋯ b 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b m , 1 ⋯ b m , m ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 ⋯ b n , m ) {\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,m}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,m}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}},\quad B:={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}} に対して、公式は | ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a 1 , k b k , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 1 n a m , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a m , k b k , m | = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n | a 1 , k 1 ⋯ a 1 , k m ⋮ ⋱ ⋮ a m , k 1 ⋯ a m , k m | | b k 1 , 1 ⋯ b k 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b k m , 1 ⋯ b k m , m | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,m}\end{vmatrix}}&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&\cdots &a_{1,k_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_{1}}&\cdots &a_{m,k_{m}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} と表現できる。ただし、右辺の総和において、 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n {\displaystyle 1\leq k_{1}<\cdots
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