ドリンフェルト・神保型の量子群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 23:15 UTC 版)
「量子群」の記事における「ドリンフェルト・神保型の量子群」の解説
一般に「量子群」と呼ばれる対象の1つのタイプはホップ代数の圏において半単純リー環あるいはより一般にカッツ・ムーディ代数の普遍包絡環の変形としてウラジーミル・ドリンフェルトと神保道夫の研究において現れた。結果の代数は付加構造を持っており、準三角ホップ代数（英語版）となる。 A = (aij) をカッツ・ムーディ代数のカルタン行列とし、q を 0 でも 1 でもない複素数とする。このとき量子群 Uq(G), ただし G はカルタン行列が A であるリー環、は以下の生成元と関係式により定まる単位的結合代数として定義される。生成元は、kλ（ただし λ はウェイト格子の元、つまり 2(λ, αi)/(αi, αi) はすべての i に対して整数）、ei, fi（単純ルート αi に対して）。関係式は k 0 = 1 , {\displaystyle k_{0}=1,} k λ k μ = k λ + μ , {\displaystyle k_{\lambda }k_{\mu }=k_{\lambda +\mu },} k λ e i k λ − 1 = q ( λ , α i ) e i , {\displaystyle k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i},} k λ f i k λ − 1 = q − ( λ , α i ) f i , {\displaystyle k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i},} [ e i , f j ] = δ i j k i − k i − 1 q i − q i − 1 , {\displaystyle [e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}},} i ≠ j のとき ∑ n = 0 1 − a i j ( − 1 ) n [ 1 − a i j ] q i ! [ 1 − a i j − n ] q i ! [ n ] q i ! e i n e j e i 1 − a i j − n = 0 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}=0,} ∑ n = 0 1 − a i j ( − 1 ) n [ 1 − a i j ] q i ! [ 1 − a i j − n ] q i ! [ n ] q i ! f i n f j f i 1 − a i j − n = 0. {\displaystyle \sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}=0.} ただし、すべての正の整数 n に対し k i = k α i , q i = q 1 2 ( α i , α i ) , [ 0 ] q i ! = 1 , [ n ] q i ! = ∏ m = 1 n [ m ] q i {\displaystyle k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})},[0]_{q_{i}}!=1,[n]_{q_{i}}!=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}}} であり、 [ m ] q i = q i m − q i − m q i − q i − 1 {\displaystyle [m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}} である。これらはそれぞれ q 階乗（通常の階乗の q 類似）と q 整数である。上の最後の2つの関係式は q セール関係式、セール関係式の変形、である。 q → 1 の極限において、これらの関係式は普遍包絡環 U(G) の関係式に近づく、ただし kλ → 1 および k λ − k − λ q − q − 1 → t λ {\displaystyle {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }} であり、ここにカルタン部分環の元 tλ はカルタン部分環のすべての元 h に対して (tλ, h) = λ(h) を満たす。 これらの代数がホップ代数となるような様々な余結合的余積がある。例えば、 Δ 1 ( k λ ) = k λ ⊗ k λ , {\displaystyle \Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda },} Δ 1 ( e i ) = 1 ⊗ e i + e i ⊗ k i , {\displaystyle \Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i},} Δ 1 ( f i ) = k i − 1 ⊗ f i + f i ⊗ 1 , {\displaystyle \Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1,} Δ 2 ( k λ ) = k λ ⊗ k λ , {\displaystyle \Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda },} Δ 2 ( e i ) = k i − 1 ⊗ e i + e i ⊗ 1 , {\displaystyle \Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1,} Δ 2 ( f i ) = 1 ⊗ f i + f i ⊗ k i , {\displaystyle \Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i},} Δ 3 ( k λ ) = k λ ⊗ k λ , {\displaystyle \Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda },} Δ 3 ( e i ) = k i − 1 2 ⊗ e i + e i ⊗ k i 1 2 , {\displaystyle \Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}},} Δ 3 ( f i ) = k i − 1 2 ⊗ f i + f i ⊗ k i 1 2 , {\displaystyle \Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}},} ただし生成元の集合は必要であればウェイト格子の元とルート格子の元の 1/2 の和として表現可能な λ に対する kλ を含むように拡張される。 さらに、任意のホップ代数から逆にした余積 T o Δ を持つ別のホップ代数が得られる。ここで T は T(x ⊗ y) = y ⊗ x によって与えられ、さらに3つのバージョンを与える。 Uq(A) の余単位はすべてのこれらの余積と同じである：ε(kλ) = 1, ε(ei) = ε(fi) = 0, そして、上記余積のそれぞれの対合射は次で与えられる： S 1 ( k λ ) = k − λ , S 1 ( e i ) = − e i k i − 1 , S 1 ( f i ) = − k i f i , {\displaystyle S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1},\ S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i},} S 2 ( k λ ) = k − λ , S 2 ( e i ) = − k i e i , S 2 ( f i ) = − f i k i − 1 , {\displaystyle S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i},\ S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1},} S 3 ( k λ ) = k − λ , S 3 ( e i ) = − q i e i , S 3 ( f i ) = − q i − 1 f i . {\displaystyle S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i},\ S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}.} あるいは、量子群 Uq(G) を C 上の不定元 q のすべての有理関数からなる体 C(q) 上の代数と見ることができる。 同様に、量子群 Uq(G) を Q 上の不定元 q のすべての有理関数の体 Q(q) 上の代数と見なすことができる（下の q = 0 における量子群についての節を参照）。量子群の中心は量子行列式によって記述できる。
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