アルキメデスの使用結果

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アルキメデスの使用結果

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/21 08:14 UTC 版)

「取り尽くし法」の記事における「アルキメデスの使用結果」の解説

アルキメデスは、取り尽くし法を使って円の面積を計算した。円に正多角形を内接させ、その正多角形の辺の数を増やしていったのである。この正多角形の面積を円の半径を1辺とする正方形の面積で割ると、その商は辺の数を増やすにつれてπに近づく。このことから半径 r の円の面積が πr2 であることを証明し、πは円周と直径の比率と定義した。付随して、円周の長さと正96角形の内接正多角形と外接正多角形の外周の長さから、3+10/71 < π < 3 + 1/7 という式を導き出した。 アルキメデスは取り尽くし法を使い、他にも以下のような結果を得ている。 直線と放物線に囲まれた部分の面積は、その直線の線分を底辺として放物線に内接して高さが最大の三角形の面積の4/3である。 楕円の面積は、その長軸と短軸と同じ長さの辺で囲まれる長方形の面積に比例する。 球の体積は、底辺がその球の同じ半径で高さが球の半径と等しい円錐の体積の4倍である。 高さと直径が等しい円柱の体積は、同じ直径の球の体積の3/2である。 螺旋と直線で囲まれた部分の面積は、その線分と同じ直径の円の面積の1/3である。 アルキメデスは取り尽くし法を幾何級数の評価にも利用した。