内接正多角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
半径rの円に内接する正n角形において、1区画の三角形の面積を考える（右図(a)）。 三角形の高さは r sin π n {\displaystyle r\sin {\frac {\pi }{n}}} 、底辺は 2 r cos π n {\displaystyle 2r\cos {\frac {\pi }{n}}} となるので、1区画の面積は r 2 sin π n cos π n {\displaystyle r^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}} であり、全区画の合計は n r 2 sin π n cos π n {\displaystyle nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}} である。 したがって、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすれば、 lim n → ∞ n r 2 sin π n cos π n = lim n → ∞ n r 2 sin π n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}} ここで、 n = π / x {\displaystyle n=\pi /x} とおけば、 lim n → ∞ n r 2 sin π n = lim x → 0 π r 2 sin x x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}=\lim _{x\to 0}\pi r^{2}{\frac {\sin x}{x}}} さらに、 lim x → 0 sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} なので、 lim x → 0 π r 2 sin x x = π r 2 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\pi r^{2}{\frac {\sin x}{x}}=\pi r^{2}} である。
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